发布时间 : 星期一 文章2017年 上海市高考数学试卷更新完毕开始阅读
2017年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.已知集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},则A∩B= .{3,4} 2.若排列数A6=6×5×4,则m= ..3 x-1
3.不等式>1的解集为 .(-∞,0)
x
4.已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 ..9π 3
5.已知复数z满足z+=0,则|z|= ..3
z
x2y2
6.设双曲线-2=1(b>0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则
9b|PF2|= .11 .
7.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐→的坐标为(4,3,2)→的坐标是 . 标轴,建立空间直角坐标系,若向量DB,则向量AC11
m
.(-4,3,2)
?3x-1,x≤0,
8.定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)的反函数为y=f(x),若g(x)=?为奇
?f(x),x>0
﹣1
8
函数,则f-1(x)=2的解为 ..
9
1
13
9.已知四个函数:①y=-x,②y=-,③y=x,④y=x2,从中任选2个,则事件“所选2个函
x
1
数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .. .
2
10.已知数列{an}和{bn},其中an=n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意lg(b1b4b9b16)
n∈N*,{bn}的第an项等于{an}的第bn项,则= .2
lg(b1b2b3b4)π11
11.设α1,α2∈R且+=2,则|10π-α1-α2|的最小值等于 ..
2+sin α12+sin 2α2412.如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1,P2,P3,P4以及四个标记为“▲”的点
在正方形的顶点处,设集合Ω={P1,P2,P3,P4},点P∈Ω,过P作直线lP,使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则Ω中所有这样的P为 .
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.P1,P3,P4
二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
?x+5y=0,
13.)关于x,y的二元一次方程组?的系数行列式D为( )
?2x+3y=4
A.??
0 5?
4 3?
B.??
1 0?
2 4?
C.??
1 5?
2 3?
D.??
6 0?
.C 5 4?
111
14.在数列{an}中,an=(-)n,n∈N*,则lim a( )A.等于- B.等于0 C.等于 n
222n→∞ D.不存在 .B
15.已知a,b,c为实常数,数列{xn}的通项xn=an2+bn+c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列”的一个必要条件是( )
A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0 .A
2
x2y22y16.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1和C2:x+=1.P为C1上的动点,3649
→·OQ→的最大值.记Ω={(P,Q)|P在C上,Q在C上且OP→·OQ→Q为C2上的动点,w是OP12=w},则Ω中的元素有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个 .D 三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
17.【解析】(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形, 两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
11
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=AB·AC·AA1=×4×2×5=20.(2)连接
22AM.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1, ∴AA1⊥底面ABC.
∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.
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∵△ABC是直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,点M是BC的中点, 11
∴AM=BC=×42+22=5.
22
由AA1⊥底面ABC,可得AA1⊥AM,
AA15
∴tan∠A1MA===5.
AM5
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5.
1
18.已知函数f(x)=cos2x﹣sin2x+,x∈(0,π).
2(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a=19,角B所对边b=5,若f(A)=0,求△ABC的面积.
11
18.【解析】(1)函数f(x)=cos2x-sin2x+=cos 2x+,x∈(0,π).
22由2kπ-π≤2x≤2kπ,解得kπ﹣π
k=1时,≤x≤π,
2
π
可得f(x)的增区间为[,π).
21
(2)f(A)=0,即有cos2A+=0,
22π
解得2A=2kπ±. 3π
又A为锐角,故A=.
3又a=19,b=5,
bsinA55719由正弦定理得sinB==,则cosB=. a3838所以sinC=sin(A+B)=
3191557357×+×=. 23823838
π
≤x≤kπ,k∈Z. 2
11357153
所以S△ABC=absinC=×19×5×=. 22384
19.根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn(单位:
?5n4+15,1≤n≤3,
辆),其中an=?bn=n+5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累
?-10n+470,n≥4,
计投放量与累计损失量的差.
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(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;
2
(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n﹣46)+8800(单位:辆),设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量? 19.【解析】(1)前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965, 前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30, ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935. (2)令an≥bn,显然n≤3时恒成立, 465
当n≥4时,有﹣10n+470≥n+5,解得n≤,
11
∴第42个月底,保有量达到最大.
当n≥4,{an}为公差为﹣10等差数列,而{bn}为公差为1的等差数列,
a4+a42b1+b42430+506+47
∴到第42个月底,共享单车保有量为×39+535-×42=×39+535-×
222242=8782.
又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736, 8782>8736,
∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量.
x22
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:+y=1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、
4下顶点的动点,M为x正半轴上的动点. (1)若P在第一象限且|OP|=2,求P的坐标;
83
(2)设P(,),若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标;
55
→AC→,→PM→,(3)若|MA|=|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C且AQ=2PQ=4求直线AQ的方程. 20.【解析】(1)设P(x,y)(x>0,y>0),
2
??x+y2=1,x2
由点P在椭圆Γ:+y=1上且|OP|=2,可得?4
422
??x+y=2,
2
42236
解得x2=,y2=,则P(,).
333383
(2)设M(x0,0),A(0,1),P(,).
55
→?PM→,即(-8,2)?(x﹣8,﹣3)=0, 若∠P=90°,则PA0=05555864629
∴(﹣)x0+-=0,解得x0=.
5252520
→?MP=0→,即(﹣x,1)?(8﹣x,3)=0, 若∠M=90°,则MA0
5053328
∴x0-x0+=0,解得x0=1或x0=. 555
若∠A=90°,则M点在x轴负半轴,不合题意. 293
∴点M的横坐标为或1或.
205
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