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高二数学文科备课组学案 必修二第一章
1.3空间几何体的表面积与体积（第1课时）设计人：楚凌霞 使用时间：2012.09.07
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标 1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积、体积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程 一、课前准备 （预习教材P23~ P25，找出疑惑之处）
复习：斜二测画法画的直观图中，x?轴与y?轴的夹角为__ __，在原图中平行于x轴或y轴的线段画成与_ __和__ _保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.
引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？ 二、新课导学 ※ 探索新知
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？
结论： 正方体、长方体是 围成的多面体，其表面积就是 ，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
正六棱柱 正四棱台 正四棱锥 探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？
新知2：（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于 ，即 S= .
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于 ，即S= .
试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个
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小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？
（3）设圆台的上、下底面半径分别为r?，r，母线长为l，则它的表面积等于 ，即S= .
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？
※ 典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S?ABC，求它的表面积.
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(?取3.14,结果精确到1毫升)?
※ 动手试试
练习: 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积.
探究3：主体、锥体与台体的体积
引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V?Sh（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？ 新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)
柱体体积公式为： ，（S为底面积，h为高） 锥体体积公式为： ，（S为底面积，h为高） 台体体积公式为： （S?，S分别为上、下底面面积，h为高） 补充：柱体的高是指 的距离；锥体的高是 的距离；台体的高是指 的距离. 反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？
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※ 典型例题
例1 如图所示，三棱锥的顶点为P，PA,PB,PC是它的三条侧棱,且A在面ABC上的投影为点P，且PC垂直PB，又PA?2，PB?3,PC?4，求三棱锥P?ABC的体积V. C P BA 变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥B??A?BC?的体积. C?D? B? A? D C A B图(2) 例2 高12cm的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225?cm2,体积为2800cm3，求截得它的圆锥的体积.
变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.
小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解. ※ 动手试试
练1. 在△ABC中,AB?2,BC?,?ABC?120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周，求所形成的A旋转体的体积.
B C
练2. 直三棱柱高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.
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小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便. ※ 知识拓展 祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 结论: 等底等高的柱体或锥体的体积相等 三、总结提升 ※ 学习小结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积计算公式；
2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. 3. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握； 4. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）. A.43 B.34 C.42 D.16
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）. A.
1?2?1?4?1?2?1?4? B. C. D. 2?4??2?3. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ） A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍
4. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为2,3,6，则它的体积为（ ）. A.23 B.32 C.6 D.4
5. 一个斜棱柱的的体积是30cm3，和它等底等高的棱锥的体积为________.
课后作业 1. 一个正四棱台的两底面边长分别为m,n(m?n),侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.A.
mnmnm?nm?n
B. C. D. m?nmnm?nmn
2. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
3. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
4. 各棱长均为a的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）. A.6a B.3a C.3a D.2a
36365. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重10kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(?取3.14).
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