发布时间 : 星期六 文章(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习新人教B版更新完毕开始阅读
3.3 利用导数研究函数的极值、最值
核心考点·精准研析
考点一 用导数解决函数的极值问题
命 考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题. 题 (2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想. 精 怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问解 题. 读 新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主 1.求函数f(x)极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域; 学 (2)求导数f ′(x); 霸 (3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; 好 (4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x0左右两侧值的符号. 方 2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 法 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 由图象判断函数的极值
【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图所示,则
=________.
3
2
【解析】f′(x)=3ax+2bx+c;
根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点; 所以x=-1,2是方程3ax+2bx+c=0的两实数根;
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根据根与系数的关系得,
所以2b=-3a,c=-6a,
所以===1.
答案:1
由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么? 提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.
求已知函数的极值
【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值. (2)求函数f(x)的极值. 【解析】(1)由f(x)=x-1+
,
得f ′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴, 所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f ′(x)=1-,
当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值. 当a>0时,令f ′(x)=0,得e=a,即x=ln a, 当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
x
在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)= ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.
若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?
提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.
已知函数极值情况求参数值(范围)
【典例】设a∈R,若函数y=x+aln x在区间
( )
上有极值点,则a的取值范围为
A.
B.
C.∪(e,+∞)
D.(-∞,-e)∪
【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间
上有极值点,所以y′在区间上有零点.
f′(x)=1+=(x>0).
所以f′·f′(e)<0,
所以(ea+1)<0,
解得-e 所以a的取值范围为 . 已知函数极值求参数,常转化为什么问题? 提示:常转化为方程的根和函数零点的问题. 1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2 2 2.设函数f(x)=ln x+ax-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________. 2 【解析】函数f(x)=ln x+ax-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.