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1）建立财政收入随国内生产总值变化的一元线性回归模型； 2）对模型进行检验；
3）若2005年的国内生产总值为155936.8，求2005年财政收入的预测值和预测置信区间（取?=0.05）。
解答：1）建立财政收入随国内生产总值变化的一元线性回归模型：
???482.7?0.1662?X Yii(-0.892） (18.411)
R2?0.9339
2）从回归的结果看，模型拟合较好。可决系数为0.9339，表明模型在整体上拟合得非
常好。从截距项与斜率项的t检验值看，在5%的显著性水平下，斜率项通过检验，而截距项则不能通过。去掉截距项，重新估计模型，可得新的回归方程：
??0.1602?X Yii(26.42)
并且从斜率项的值看，0<0.1602<1，符合实际经济情况。
3）若2005年的国内生产总值为155936.8，则2005年财政收入预测的点估计值：
Y2005?0.1602?155936.8? 24984.92在95%的置信度下，Y2005的预测区间为：
（20700.16，29269.68）
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第三章 多元线性回归模型
1．多元线性回归模型的基本假设有哪些？在多元线性回归模型的参数估计量的无偏性、有效性的证明中各用了哪些？
解答 多元线性回归模型的基本假设也包括对解释变量的假设、对随机误差项的假设、对模型设定的假设几个方面，主要如下：
1）解释变量是确定性变量，不是随机变量，解释变量之间不相关，即X矩阵是n?（k?1）阶非随机矩阵，X矩阵列满秩
Rank（X）?k?1
据此，有
Rank（X?X）?k?1
矩阵X?X非奇异。
2）随机误差项具有0均值、同方差，且在不同样本点相互独立，不存在序列相关性，即
E（?i）?0 i?1，2，?，n Var（?i）??2 i?1，2，?，n
Cov（?i ，?j）?0 i?j i?1，2，?，n
用矩阵形式表示为
（?1）??1??E??????E（?）22??0 E（?）? E???????????????E（?）n??n??Cov（?）? E{???E（?）]???E（?）]?}?E（???）
??20?0???20??0???2I ????????2?00????3）解释变量与随机误差项不相关，即
Cov（Xji ，?i）?0 j?1，2，?，k i?1，2，?，n
4）随机误差项服从正态分布，即
?i?N(0,?2) i?1，2，?，n
用矩阵形式可表示为
??N(0,?2I)
5）回归模型是正确设定的。
同一元线性回归模型，在这5条假设中，前4条假设是古典假设，若前两条假设满足，第3条假设自然满足，并且由第2条假设有
E（?i2）??2 i?1，2，?，n E（?i?j）?0 i?j i?1，2，?，n18
在证明参数估计量的无偏性时，利用了解释变量非随机或与随机干扰项不相关的假定；在证明参数估计量的有效性时用到了随机干扰项同方差且无序列相关的假定。
2．对于多元线性回归模型Yi??0??1X1i??2X2i????kXki??i，证明 （1）E(Yi)??0??1X1i??2X2i????kXki （2）Var(Yi)??2
（3）Cov(Yi,Yj)?0 i?j
证 （1）由多元线性回归模型的基本假设可知：
E(?i)?0
那么，
E(Yi)?E(?0??1X1i??2X2i????kXki??i)?E(?0)?E(?1X1i)?E(?2X2i)???E(?kXki)?E(?i) ??0??1X1i??2X2i????kXki（2）证明如下：
?Yi??0??1X1i??2X2i????kXki??i?Xj是确定性量 j?1,2,?,k?Var(Yi)?Var(?i)??2
（3）证明如下：
Cov(Yi,Yj)?E[Yi?E(Yi)][Yj?E(Yj)]?E(?i?j)?0
3．在多元模型中，为何要对决定系数进行调整？调整的决定系数R2与F的关系如何？ 解答 在多元线性回归模型中，因为决定系数R2随解释变量数目的增加而增大（或至少不变），所以不能利用决定系数R2进行解释变量数目不同的模型的拟合优度的比较。同时，若以决定系数R2度量模型的拟合优度，还会造成通过增加解释变量数目提高模型拟合优度的倾向，而事实上，解释变量的数目并非越多越好，若增加的解释变量不是被解释变量的重要影响因素，甚至是被解释变量的不相关因素，反而会对模型产生负面影响。正是由于存在这样的缺陷，决定系数R2在多元线性回归模型拟合优度评价方面的作用受到了很大的限制。
克服决定系数R2的上述缺陷的方法，是对决定系数R2进行适当的调整，得到调整的决定系数。
调整的决定系数R2与F统计量存在下列关系：
n?1R2?1?
n?k?1?kF或
R2/k F?
(1?R2)/(n?k?1)
4．t检验、F检验的关系如何？
解答 变量显著性检验（t检验）是针对单个解释变量对被解释变量的影响是否显著所作的检验，检验被检验变量的参数为0是否显著成立；方程显著性检验（F检验）是针
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对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，检验被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立。
5．对于多元线性回归模型Yi??1X1i??2X2i????kXki??i （1）求参数的普通最小二乘估计量。 （2）对于该模型，参数的普通最小二乘估计量是否依然满足线性性、无偏性、有效性？ （3）对于该模型，是否依然有
?ei?1ni??0 ?0 ?eiXji?0(j?1,2,?,k) ?eiYii?1i?1nn-1??解答 （1）?（X?X）X?Y
（2）依然满足线性性、无偏性、有效性
??0 （3）依然有?ei?0 ?eiXji?0(j?1,2,?,k) ?eiYii?1i?1i?1nnn6．证明，在?显著性水平下，当ti?t?时，?i的置信度为1??的置信区间不包括0。
2解答 在?显著性水平下，当|ti|?t?时，即
2|ti|?|??iS??i?|?t?S????t?S 或 ????t?S? |?t??|???i?i?i????22i2i2i??t?S??0 或 ???t?S??0 ??i?i???2i2i??t?S?,???t?S?) 而在1??的置信度下，?i的置信区间是：(?i?i???2i2i??t?S??0时， ?的置信区间的下限大于0； 当?i?i?2i??t?S??0时， ?的置信区间的上限小于0； 当?i?i?2i??i的置信度为1??的置信区间不包括0。
7．为研究某地家庭书刊消费与家庭收入、户主受教育程度之间的关系，建立了家庭书刊年消费支出Y（元）、家庭月平均收入X1（元）、户主受教育年数X2（年）的模型，用抽样得到的35个家庭的数据估计得
? ? 8.2617 ? 0.0208X ? 1.2698X Yi1i2i t?(3.356763)(?4.237629) (2.965781)R2?0.961542 R2=0.936783 F?98.523926 n?35（1）从经济意义上考察模型的合理性。
（2）在5%的显著性水平上，进行变量显著性检验。
（3）在5%的显著性水平上，进行方程总体显著性检验。
解答 （1）家庭月平均收入越高，家庭书刊年消费支出相应会增加，但不会有收入增加
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