发布时间 : 星期三 文章第七章 - 向量代数与空间解析几何更新完毕开始阅读
xy?2z?4 ??3?11x?3y?5zx?3y?1z1３．求与已知直线l1：??和l2：??都相交，且与l3：
211141x?2y?1z?3平行的直线方程． ??321分析：所求直线l的方向向量为s?(3,2,1)，只要在l上找到一个定点P，即可使问题获解.最好选择l与l1或l2的交点．
解 将l1和l2化为参数方程：
?x?2t?3?x?t?3?? l1:?y?t?5 l2:?y?4t?1?z?t?z?t??设l与l1和l2的交点分别对应参数t1和t2，则知交点分别为P(2t1?3,t1?5,t1)，
????Q(t2?3,4t2?1,t2)，由于PQ//S，故
?2t1?3???t2?3??t1?5???4t2?1?3?2?t1?t2 1?t?2t2??6整理成方程组?1，解得t1?0．
t?2t?6?12所以，P的坐标为(?3,5,0)．
x?3y?5z故所求直线方程为：??
321?a1b1c1?x?a3y?b3z?c3?abc1４．设矩阵?是满秩的，则直线 （ ） ???222?a?ab?bc?c122121?abc??333?（A）相交于一点 （B）重合 （C）平行但不重合 （D）异面 【分析】 记A?(a1,b1,c1)，B?(a2,b2,c2)，C?(a3,b3,c3)
?a1b1c1??abc由于矩阵?222?满秩，所以A、B 、C三点不共线． ??abc??333?第一条直线过点C且平行于AB，第二条直线过点A且平行于BC，故两条直线相交． 所以，正确答案为（A）．
y?0?x?2y?5?0?1５．求两条直线l1:?，l2:?的公垂线方程．
?x?2z?4?0?2y?z?4?0【分析】 公垂线l既在由l1与l确定的平面?1上，又在由l2与l确定的平面?2上，因此
?1和?2的交线即为公垂线
解 为求?1的平面方程，可在l1上选取一个定点，如A(?5,0,4)，至于?1的法向量可作如下考虑：
若直线l1的方向向量为s1，直线l2的方向向量为s2，则公垂线方向为s=s1?s2，那么，由l1与所确定的平面?1，其法向量为n1=s?s1．
s1?(1,2,0)?(0,2,?1)?(?2,1,2) s2?(0,1,0)?(1,0,2)?(2,0,?1)
i2jk2?(?1,2,?2)
s=s1?s2??210?1 9
ijk2n1=s?s1??12?2?(6,6,3)?3(2,2,1)
?21所以?1的方程为：2(x?5)?2y?(z?4)?0 即 2x?2y?z?14?0． 同理，在l2上选取一个定点B(0,0,?2)，又?2的法向量为
i2jkn2=s?s2??12?2?(?2,?5,?4)
0?1从而得平面?2的方程为
2x?5y?4z?8?0
故所求公垂线的方程为
?2x?2y?z?14?0 ?2x?5y?4z?8?0?x?1yz?11６．求直线l：在平面?：x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程，并??11?1确定l0绕y轴旋转一周的旋转面方程．
解 首先求出l在平面?上的投影直线l0，l0位于过l且与?垂直的平面?1上．?1的法向量n1与?的法向量n垂直，且与l的方向向量s垂直，故
i1j1k2?(?1,3,2) ?1n1=n?s?1?1所以?1的方程为?(x?1)?3y?2(z?1)?0，即x?3y?2z?1?0．
?x?y?2z?1?0由于l0位于平面?上，因此得其一般式方程?
x?3y?2z?1?0?下面求直线l0绕y轴旋转的旋转曲面方程，将l0化为参数方程形式
??x?2t?y?t ??1?z??(t?1)?2旋转面方程应满足
1?2222?x?z?(2t)?(y?1)t?R 4??y?t?消去参数，得旋转面一般方程
1x2?z2?4y2?(y?1)2
41714通过配方可进一步化为x2?z2?4y2?(y?)2?，即
41717172172117x?2(y?)2?z2?1 41744此曲面为单叶双曲面．
三、考研题
１．（95，3分）设(a?b)?c?2，则[(a+b)?(b+c)]?(c?a)? ． 【分析】 这是向量运算问题，首先由叉乘对加法的分配律得
10
[(a+b)?(b+c)]?(c?a)?=[(a?b)?(a?c)+(b?b)+?b?c?]?(c?a)
其中b?b=0．再用点乘对加法的分配律得
原式=(a?b)?c?(a?c)?a+(a?c)?c+(a?c)?a+?b?c??c+?b?c??a 由于?x,y,z?换则变号，故
原式= 2(a?b)?c=2?2?4．
?x??t?2?2．（90，3分）过点M(1,2,?1)且与直线?y?3t?4，垂直的平面方程是 ．
?z?t?1?【分析】 所求平面的法向量n平行于所给直线s?(?1,3,1)的方向向量，取n=s，则所求平面方程为 ?(x?1)?3(y?2)?(z?1)?0，即
x?3y?z?4?0．
x?1y?2z?33．（91，3分）已知两条直线的方程是L1:， ??10?1x?2y?1zL2:??，则过L1且平行L2的平面方程为 ．
211【分析】 所求平面?过直线L1，因而过L1上的点(1,2,3)，?过L1平行于L2，于是?记(x?y)?z=0，只要其中有两个向量相同，又?x,y,z?中相邻两个向量互
平行于不共线的向量l1?(1,0,?1)，l2?(2,1,1)（分别是直线L1与L2的方向向量）．于是平面?的方程
x?1y?2z?310?1?0，即x?3y?z?2?0位所求． 2114．（96，3分）设一平面经过原点及(6,?3,2)，且与平面4x?4?2z?8垂直，则此平面
方程为 ．
??????【分析１】 所求平面?过O(0,0,0)与M0(6,?3,2)，其法向量n?OM0?{6,?3,2}；平面?垂直于已知平面?0:4x?y?2z?8，它们的法向量也互相垂直：n?n0．由此
ijk??????n//OM0?n0?6?32??4i?4j?6k
4?12取n=2i?2j?3k，则所求过O点的平面?的方程为 2x?2y?3z?0．
【分析２】 即求过O点，与两个不共线的向量（一个是从原点到点M0(6,?3,2)的向??????量OM0?{6,?3,2}，另一个是平面4x?y?2z?8的法向量n0?{4,?1,2}）平行的平面，即
xyz6?32?0，即 2x?2y?3z?．0 4?125．（93，3分）设有直线L1:（A）
?x?y?6x?1y?5z?8，L2:?，则L1与L2的夹角为 ??2y?z?31?21????? （ B） （C） （D） 6432【分析】 这实质是求两个向量的夹角问题．L1与L2的方向向量分别为：
is1?(1,?2,1) 与 s2?10
j?12k0?(?1,?1 ,2)111
L1与L2的夹角?的余弦为
cos??cos(s1,s2)?s1?s2s1s2?366?1???? 23应选（C）．
?x?3y?2z?1?06．（95，3分）设有直线L:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线L
2x?y?10z?3?0?（A）平行于? （B）在?上 （C）垂直于? （ D）与?斜交
【分析】 这是讨论直线L的方向向量与平面?的法向量的相互关系问题，直线L的方向向量为
ijks?132??28i?14j?7k=?7(4i?2j?k)
2?1?10平面?的法向量n=4i?2j?k，s//n，L??，应选（C）．
x?1yz?17．（98，5分）求直线L:在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线L0的??11?1方程，并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．
解 先求直线L在平面?上的投影L0：
求L在平面?上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面?的平面?0，所求投影线就是平面?与?0的交线．平面?0过直线L上的点(1,0,1)与不共线的向量l?{1,1,?1}（直线L的方向向量）及n={1,?1,2}（平面?的法向量）平行，于是?0的方程是
x?111y1?1z?1?1?0，即 x?3y?2z?1?0
2?x?y?2z?1?0投影线为L0:?
x?3y?2z?1?0??x?2y?再求L0绕y轴的旋转S：先把表以y为参数的形式?，按参数式表示的旋1z??(y?1)??2转面方程得s的参数方程为
?12x?(2y)?((1?y))2cos??2?? y?y???z?(2y)2?(1(1?y))2sin??2?12消去?得s的方程为 x2?z2?(2y)2?((1?y，即))
24x2?17y2?4z2?2y?1?0为所求．
8．（94，6分）已知A点和B点的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为s，求由s及两平面z?0，z?1所围成立体的体积．
解法1 用定积分．设高度为z处的截面Dz的面积为s(z)，则所求体积
V??s(z)dz
01A、B所在的直线方程为
?x?1?zx?1yz ?? 或 ?y?z?111?
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