发布时间 : 星期六 文章高考数学二轮复习 第九章 平面解析几何 圆的方程 理（含试题）更新完毕开始阅读
[答案] 11.查看解析
[解析] 11.(Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2得|DF1|==c.
从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=.
,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2故a=
,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(Ⅱ)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交
点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2. 由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.
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由(Ⅰ)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得
-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.
又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
12.(2013山东青岛高三三月质量检测，22,13分）已知椭圆: 的
焦距为(Ⅰ) 若
, 离心率为
, 求
, 其右焦点为, 过点作直线交椭圆于另一点.
外接圆的方程;
(Ⅱ) 若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，
且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
[答案] 12.(Ⅰ) 由题意知：又
，解得
，.
，
椭圆可得
的方程为：
，，
, 设
.
，则
，即
，.
.
由，或
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即①当
，或的坐标为
时，
.
，
.
外接圆是以
为圆心，
为半径的圆，即
②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，其外接
圆是以线段为直径的圆，圆心坐标为，半径为，
外接圆的方程为
综上可知, 外接圆方程是
的斜率存在.
，
，或.
(Ⅱ) 由题意可知直线设
，
，.
由得,
由得：（）
，即
.
结合（）得
，
从而，
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点在椭圆上，
，整理得, 即.
，或
12.
.
13.（2013重庆，21,12分）如图, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x轴上, 离心率e=, 过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A, A' 两点, |AA' |=4. (Ⅰ) 求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P', 过P, P' 作圆心为Q的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQ⊥P' Q, 求圆Q的标准方程.
[答案] 13.(Ⅰ) 由题意知点A(-c, 2) 在椭圆上, 则+=1, 从而e2+=1.
由e=得b2==8, 从而a2==16.
故该椭圆的标准方程为+=1.
(Ⅱ) 由椭圆的对称性, 可设Q(x0, 0). 又设M(x, y) 是椭圆上任意一点, 则
|QM|2=(x-x0) 2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0) 2-+8(x∈[-4,4]).
设P(x1, y1), 由题意, P是椭圆上到Q的距离最小的点,
因此, 上式当x=x1时取最小值, 又因x1∈(-4,4), 所以上式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0, 且|QP|2=8-.
因为PQ⊥P' Q, 且P' (x1, -y1), 所以
·=(x1-x0, y1) ·(x1-x0, -y1) =0,
即(x1-x0) 2-=0. 由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,
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