发布时间 : 星期五 文章（最新）2020年中考数学复习 专题7 圆的综合（精讲）试题更新完毕开始阅读
专题七 圆的综合
毕节中考备考攻略
纵观近5年毕节中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角形模型,其中2014年第26题属于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019年第26题将继续考查.
解决圆的综合问题的几个要点：
(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角； (2)已知直径,找直径所对的圆周角；
(3)已知切线或证明相切关系,连接过切点的半径；
(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果； (5)圆心是直径的中点,考虑中位线；
(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理； (7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.
中考重难点突破
1
垂径定理模型
例1 (2018·郴州中考)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB＝AD,AE是⊙O的弦,∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为4,求AE的长.
【解析】(1)先得出∠ABC＝30°,进而求出∠OAB＝30°,∠BAD＝120°,结论得证； (2)先求出∠AOC＝60°,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果. 【答案】(1)证明：连接OA. ∵∠AEC＝30°,∴∠ABC＝30°. ∵AB＝AD,
∴∠D＝∠ABC＝30°.
根据三角形的内角和定理得,∠BAD＝120°. ∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠ABC＝30°, ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°, ∴OA⊥AD. ∵点A在⊙O上, ∴直线AD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠AEC＝30°,∴∠AOC＝60°.
2
∵BC⊥AE于点M,∴AE＝2AM,∠OMA＝90°. 在Rt△AOM中,
AM＝OA·sin ∠AOM＝4×sin 60°＝23, ∴AE＝2AM＝43.
等腰三角形模型
︵︵
例2 (2018·永州中考)如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,BC＝CE,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证：CF＝BF；
4
(2)若cos ∠ABE＝,在AB的延长线上取一点M,使BM＝4,⊙O的半径为6.求证：直线CM是⊙O的切线.【解
5︵︵︵︵
析】(1)延长CD交⊙O于点G,如图,利用垂径定理得到BC＝BG,则可证明CE＝BG,然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB,从而得到CF＝BF；
(2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OC⊥BE,再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH＝2418
,OH＝,接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°,然后根据切线的判定定理得到结论. 55
3
【答案】证明：(1)延长CD交⊙O于点G. ∵CD⊥AB,∴︵BC＝︵
BG. ∵︵BC＝︵CE,∴︵CE＝︵BG, ∴∠CBE＝∠GCB,∴CF＝BF； (2)连接OC交BE于点H,如图. ∵︵BC＝︵
CE,∴OC⊥BE.
2
在Rt△OBH中,cos ∠OBH＝BHOB＝45,∴BH＝424
5×6＝5,∴OH＝
62
－??24?5??18?
＝5.
18
∵OH53OB63OC＝6＝5,OM＝6＋4＝5,∴OHOC＝OBOM. 又∵∠HOB＝∠COM,∴△OHB∽△OCM, ∴∠OCM＝∠OHB＝90°,∴OC⊥CM, ∴直线CM是⊙O的切线.
4