发布时间 : 星期日 文章（9月最新修订版）2011全国各地中考数学试题分类汇编考点18-2二次函数的应用（几何）3更新完毕开始阅读
① 当Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC， 垂足为点G，则QC=22·t． 又∵DH=HC，DH⊥BC， ∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC·sin∠C=22t3sin45°=2t． 又∵BP=BC-PC=14-t，
11∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×2t=14t-t2．
22当Q运动到D点时所需要的时间t=∴S=14t-t2（0＜t≤4）．
② 当Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC， 则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t， 11∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×8=56-4t．
22当Q运动到A点时所需要的时间t=32∴S=56-4t（4＜t≤4+）．
2
综合上述：所求的函数关系式是：
CD82==4． 2222CD+AD82+632==4+．
22222S=14t-t2（0＜t≤4）． S=56-4t（4＜t≤4+
32） 2
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（1） 要使运动过程中出现PQ∥DC，a的取值范围是a≥1+2．
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A Q D B
14. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，24，10分）在平面直角坐标系中，抛物线
P G C 、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于y?ax2?bx?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）点H.
（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点
D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.
【答案】解：（1）a??1,b??2，顶点C的坐标为（-1，4）
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E. 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，
CEDO. ?EDAO1c设D（0，c），则?.
4?c32变形得c?4c?3?0，解之得c1?3,c2?1. 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
∴△CED ∽△DOA，∴
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M，∴AM=CM， ∴AM2=CM2. 设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.
设直线CM的解析式为y=k1x+b1， ??k1?b1?448则?， 解之得k1??，b1?.
33?2k1?b1?0∴直线CM的解析式y??48x?. 3348?1?y??x??x??1120?x??33联立?，解之得?3或?(舍去).∴P(，).
?39?y?4?y??x2?2x?3?y?20???9 ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N. CACH??2， AFAHFNNAAF1由△FNA∽△AHC得???.
AHHCCA2 ∴AN?2，FN?1, 点F坐标为（-5,1）.
??k2?b2?4319设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则?，解之得k2?,b2?.
44??5k2?b2?1 由△CFA∽△CAH得
319x?. 447?319?x???755?y?x??4 或 ?x??1(舍去). ∴
44联立 ?，解之得?P(?，). ?416?y??x2?2x?3?y?4?y?55??16?120755∴满足条件的点P坐标为(，)或(?，) 39416∴直线CF的解析式y?
15. （2011湖北省随州市，24，15分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=
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x4交于M(x1,y1)和N（x2,y2)两点（其中x1＜0，x2＞0） （1）求b的值。 （2）求x1 ·x2的值
（3）分别过M，N作直线l:y=—1的垂线，垂足分别是M1,N1,判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。 （4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切。如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。
【答案】 解：（1）∵点F（0，1）在直线y=kx+b上，
∴1=0×k+b,
解得 b=1
（2）点M(x1,y1)和N（x2,y2)两点既在直线y=kx+1，又在抛物线y=∴x1 ，x2是
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x上 412
x=kx+1的两根。 4即：x1 ，x2是x2—4kx—4=0的两根。
∴x1 ·x2=—4. （3）△M1FN1是直角三角形。 证明：由题意F1（0，—1），∴F F1=2. ∵分别过M，N作直线l:y=—1的垂线，垂足分别是M1,N1, ∴M1 F1×N1 F1=4 ∴△FM1 F1∽△N1 F F1． ∴∠M1 F F1=∠FN1 F1 ∵∠FN1 F1+∠F1 FN1=90°。 ∴∠M1 F F1+∠F1 FN1=90° ∴△M1FN1是直角三角形。
（4）存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切。这条直线m的解析式为y=—1。过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+［（kx1+1）-(kx2+1)］2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=(k2+1)（x1-x2）2=(k2+1)(4 ）2=16（k2+1)2 ∴MN=4(k2+1)
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）= (y1+1+y2+1)= （y1+y2）+1=k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1=MN 即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切. ……（15分）
16. （2011江西，24,10分）已知：抛物线y?a(x?2)2?b (ab?0)的顶点为A，与x轴的交点为
B，C（点B在点C的左侧）.
(1)直接写出抛物线对称轴方程； （2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；