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2008 年 5 月 第 2 期
吉林师范大学学报( 自然科学版)
Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition)
l .2 May 2008
特征函数的一种新解释及其应用
周茂袁, 王秀丽, 李雪艳
( 中国民航大学理学院, 天津 300300)
摘要:在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新
解释.首先分别给出了离散型和连续型随机变量的特征函数和概率(密度)函数的新解释.然后利用这种新解释 来求随机变量的分布函数.最后得出,这种新解释能加深对特征函数的理解,而且能使特征函数相关的求解问题 化繁为简.
关键词:特征函数;新解释;分布函数 中图分类号: O211. 5
文献标识码: A
文章编号: 1000- 1840- ( 2008) 02- 0037- 02
定理 1若随机变量 F的特征函数 U( t )于 R
0 引言
特征函数是概率论中一种有力的工具,文献[ 1] 和[ 2]讨论了它的一些性质和应用,但它涉及傅立叶 变换,内容比较枯燥,运算比较繁杂.鉴于此,笔者在 基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基 础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解 释.
定义 1 设 F是定义在概率空间( 8 , F, P )上
jtF
的随机变量,它的分布函数为 F ( x ) ,称 e的数学期
上绝对可积,则 F为具有密度函数f ( x )的连续型随 机变量,且
f (x) = 1 2 P - ]
Q ]
ejtx
U( t ) d t
( 4)
定理 2若 F为取整数值的随机变量,其概率 函数为
p k = P{ F= k } , k = , ,- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ,,
其特征函数为 U( t ) ,则
望 E ( e )为 F的特征函数 R ,并记为 U( t ) .显然,
jtF [ 3 ]
,其中 j = - 1 , t I
p k = 1 2 P - P Q e P
- jtk U( t ) d t
( 5)
U( t ) = E ( ejtF) = E( cos tF) + jE( sin tF) = cos tx d F( x ) + j sin tx dF ( x )
- ] - ]
]
1 特征函数的新解释
Q ] ]
Q
1. 1基于傅立叶变换物理意义的直观解释 ( 1) 显然特征函数是一种特殊的傅立叶变换,那么 它也就有傅立叶变换所具有的物理意义 [ 4] .
离散情况下,首先 U( t ) = = Q e d F( x )
jtx
- ]
因此, F的特征函数也可称之为对分布函数 F ( x )的 傅立叶 )斯蒂尔切斯变换.
当 F为离散型随机变量时,其特征函数为
U k )=E(eF= Epke (2)其中 p k = P { F= xk } .
当 F为连续型随机变量时,其特征函数为
U( t ) = E( e ) = jtF
k
E pe k
jtx
kk
的物理解 释:在振动理论中,把特征函数 U( t )看作一个振动, ejtxk相当于单位谐波, U( t )可解释成由简谐振动 pkejtxk ( k= 0, ? 1, ? 2, , ,)叠加产生的运动.
1 再次 p k = 2 P - P U( t ) e P
Q - ]
]
Q- jtk
d t的物理解释:在振 d t叠加 f ( x ) e d x jtx
( 3) 动理论中, p k是由简谐振动 (即积分)产生的运动.
1 jtk
= U( t ) e - 2 P
文献[ 3]给出了分布函数与特征函数的一一对 应关系:
收稿日期: 2008-03-24
连续情况下,特征函数也有相应的物理解释.
基金项目:中国民航大学科研基金项目 06kys05z、05yk31s 04cauc18s、 资助
第一作者简介:周茂袁( 1980-) ,男,山东青岛人,助教,硕士,研究方向:概率论与数理统计.
) 37 )
特征函数 U t ) = f ( x ) ejtx dx的物理解释: (
- ]
Q ]
]
在振动理论中,把特征函数 U( t )看作一个振动, ejtx 相当于单位谐波,特征函数 U( t )即可理解为由简谐 振动 f ( x ) ej tx dx叠加(即积分)产生的运动. 同理, f ( x ) = 1 U( t ) e - jtx d t也有类似的 2 P - ]
物理解释:在振动理论中, f ( x )是由一切角频率为
2 新解释在求分布函数时的应用
如求下列各随机变量 F的概率分布,已知其特 征函数分别为 ( 1) cos t ( 2) cos2t
由文献[ 2]中的反演公式可解决此问题,即利用公式 e - jtx 1 - e - jtx 2 1 U( t ) d t v ] 2 P F ( x 1) - F ( x 2) = Tlimjt -T
但计算过程比较繁杂.如果利用本文提出的新解释
T
Q
1 - jtx
的简谐振动2 PU( t ) e d t叠加(即积分)产生的运 Q 动, 1 U( t )为初始向量, e - jtx为单位谐波. 2 P
1. 2 基于坐标分解的新解释
受傅立叶变换物理意义的启发,得到基于坐标 分解[ 5]的特征函数的新解释.
离散情况下,特征函数 U( t ) =
去求这个问题就非常简单,现用此法求解. 分析:只要将特征函数 U( t )进行坐标分解即可, U( t )可以看作是以 ejtk ( k从- ]到 ] )为基的可列
无穷维空间下的坐标分解,第 k维的坐标值为 p k ,
pke k 的新解 由文献[ 2]中的惟一性定理可知 p k即为概率分布. Ek
释: U t )可以看作是以 e ( k从- ]到 ] )为基的 j tx k
可列无穷维空间下的坐标分解,第 k维的坐标值为 pk .
1 pk = 2 P - P
P
解: ( 1)由 Euler定理
e + e cos t = 2 it - it
1 it @ 1 1 it @ ( - 1 ) = 2 e + 2 e
1)
Q U( t ) e - jtk
d t的新解释: pk可以看作
= P( x = 1) e it @ 1+ P( x = - 1) eit @ ( - 由惟一性定理可知,它的概率分布惟一,
是以 e - jtk
d t ( t从- P到 P)为基的实数势无穷维空
P ( F= 1) = 0. 5, P( F= - 1) = 0. 5,即 F所求的概率 分布.
1+ cos2 t 2
1 it @ 0 1 it @ 2 1 it @ ( - 2) = 2 e + 4 e + 4 e ( 2) cos2 t = = P ( x = 0) e + P ( x = 2) e + P ( x = - 2) eit @ ( - 2)
it @ 0 it @ 2
1 U( t )是在基 e- jtx d t下的坐标 间下的坐标分解,
2 P
值.
同理,连续情况下,特征函数 U( t ) = f ( x)
- ]
Q ]
ejtx dx的新解释: U( t )可以看作是以 ejtx ( x从 - ] 到 ] )为基的实数势无穷维空间下的坐标分解, f ( x )是在基 ejtx dx下的坐标值.
1 f ( x) = 2 P
]
由惟一性定理可知,它的概率分布惟一, P ( F= 0) = 0. 5, P( F= 2) = 01 25, P ( F= - 2) = 0. 25 即为 F所求的概率分布.
可见,基于坐标分解的特征函数的新解释能加 深我们对特征函数的理解,而且能使特征函数相关 的求解问题化繁为简.
Q - ]
U( t ) e - jtx
d t的新解释: f ( x )可
d t ( t从- ]到 ] )为基的实数势无
1 jtx
穷维空间下的坐标分解, d t下 U( t )是在基 e - 2 P
的坐标值. 以看作是以 e
- jtx
参 考 文 献
[ 1]徐玉华.关于概率论中特征函数性质的几点讨论[ J] .荆州师范学院学报, 2003, 2: 36~ 39. [ 2]乌 兰,金 珩.利用特征函数讨论特殊分布的有关性质[ J] .内蒙古统计, 2004, 5: 43~ 46.
[ 3]梁之舜,邓集贤,等.概率论及数理统计(上册) [ M] .第 3版.北京:高等教育出版社, 2005. [ 4]熊大国.积分变换[ M ] .北京:北京理工大学出版社, 1990: 1~ 20. [ 5]同济大学应用数学系.高等数学(上册) [ M] .北京:高等教育出版社, 2002.
)
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低于 20 000元时,其消费主要用于家庭日常生活的消费项目上,而当家庭人均收入超过 10 000元时,其它 消费项的价格已不再是决定性影响因子.用于旅游休闲文化娱乐方面的消费完全取决于个人的选择,家庭 收入水平越高就越呈明显的上升趋势,其增长幅度超过另外七个消费项.
[ 2]梁俊伟,范 院学报, 2006, ( 2) : 85~ 89.
参 考 文 献
[ 1]臧旭恒,孙文祥.城市居民消费结构:基于 ELES模型和 AIDS模型的比较分析[ J] .山东大学学报, 2003, ( 6) : 122~ 126.
金.福建农村居民消费行为的地区差异和结构分析 ) ) )基于 AIDS模型的实证研究 [ J] .福建行政学院福建经济管理干部学
[ 3]郝梅瑞.居民家庭收入差距研究) ) )以上海为例[ J] .消费经济, 2005, ( 6) : 21~ 26.
Traveling Leisure Culture Expense Statistical Analysis Based on the AIDS Model City People
ZHANG Shun 1, SUI Yi-wen 2
( 1. Coll ege of Tourism Management and Geography, Jilin Normal University, Siping 136000, China;
2. Siping Statistics Bureau data Processing Center, Siping 136000, China)
Abstract:Our country cities inhabitant. s household income level unceasinglyenhances, with it connect ion each kind of expense also along with itsinflat ion, specially in the international fashion expense thought and/ the gold week0 under the policy induction, the traveling leisure cuture expense growth scope enlarges. Essence expends which for the rational knowledge and the scientif icanalysis traveling leisure culture, according to the AIDS model, hascarried on the document statistical analysis to the city peoplehousehold income change and the expense goal change and the expenseproject price coefficient of fluctuation correlational dependence.
Key words: AIDS model; traveling leisure culture; price; epense project
Abstract: On the basis of the intuitive interpretation of eigenfunction based on the physical significance of Fourier transform, a new interpretat ion of eigenfunction based on coordinate decomposition is introduced. First the new interpre- tation of eigenfunction and probability mass( density) function of discrete and continuous random variable is introduced respectively. Then it is used to get the distribution function of random variable. Finally it is concluded that , this new in- terpretat ion would help deepen the understanding about eigenfunction, and also can let the problems about eigenfunction simplified.
Key words: eigenfunct ion; new interpretat ion; cumulat ive distribution function ( 上接第 38 页)
A New Interpretation of Eigenfunction and Its Application
ZHOU Mao-yuan, WANG Xiu-li , LI Xue-yan
( Science College, Civil Aviation Universit y of China, Tianjin 300300, China)
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