发布时间 : 星期日 文章推荐下载 2018年数学江苏专用理科提高版大一轮复习自主学习：第53课 直线的基本量与方程 含解析更新完毕开始阅读
例4 过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点. (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当OA+OB取最小值时，求直线l的方程.
【思维引导】在比较中合理选择直线方程的形式，根据题意，求得基本量.
xy【解答】设直线l：a+b=1(a>0，b>0)， 41因为直线l经过点P(4，1)，所以a+b=1.
44141?ab=ab，所以ab≥16，当a=8，b=2时等号成立，所以a=8，(1)a+b=1≥2xyb=2时，△AOB的面积最小，此时直线的方程为8+2=1，即x+4y-8=0.
41(2)因为a+b=1，a>0，b>0，
?41?a4b???所以OA+OB=a+b=(a+b)?ab?=5+b+a≥9，当且仅当a=6，b=3时等号成
立，所以OA+OB最小时，直线l的方程为x+2y-6=0.
【精要点评】(1)本题使用直线方程的截距式，几何关系清晰，解法比较简捷，当然也可以使用点斜式，但是要注意斜率k<0.(2)通过比较发现，选用直线方程的不同形式求解问题的效果不同，这就需要我们充分认识不同形式的直线方程的特点.
例5 已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程.
【思维引导】(1)把直线的方程形式转化为关于m的恒等式再求定点坐标；(2)过点M设方程，然后求交点，构造关于点M的中点问题，最后求方程中的参数k的值.
【解答】(1)因为m(x-2y-3)+2x+y+4=0，
?x-2y-3?0，?x?-1，??2x?y?4?0，所以由题意可得?解得?y?-2， 所以直线l恒过定点M(-1，-2).
(2)设所求直线l1的方程为y+2=k(x+1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，则
?2?-1，0??k??，B(0，k-2). A
由题意知AB的中点为M，
2??-2?-1，k??-4?k-2，所以?解得k=-2，
所以所求直线l1的方程为2x+y+4=0.
【精要点评】求直线的定点是常见问题.解决该类问题的方法有两种：(1)构造关于某参数(如题中m)的恒等式，然后再寻找方程组求定点；(2)任意取参数(如题中m)的特殊值构造关于x，y的方程组，求定点，并代回验证.除直线中的定点问题外，还有涉及到各类函数(指数、对数、三角函数)、圆以及圆锥曲线的定点问题，值得关注.
31. 在平面直角坐标系中，直线y=-3x+1的倾斜角为 . 5π【答案】6
35π【解析】因为tan α=k=-3，又α∈[0，π)，所以α=6.
2. 不论m取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点 .
【答案】(-2，3)
?x?2?0，?【解析】由直线方程(m-1)x-y+2m+1=0，整理得(x+2)m-(x+y-1)=0，则?x?y-1?0，?x?-2，?解得?y?3.
3.若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(-1，3)，则直线l的倾斜角的取值范围是 .
?π3π??，?【答案】?44?
π【解析】当斜率不存在时，直线l的倾斜角为2，方程为x=1，此时满足题意；当斜2率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y-2=k(x-1)，在x轴上的截距为1-k， 2令-1<1-k<3，解得k<-1或k>1，
?ππ??π3π??，??，?故倾斜角的取值范围是?42?∪?24?. ?π3π??，?综上，倾斜角的取值范围是?44?.
4. 经过点A(-2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程为 . 【答案】x-y+4=0
xy【解析】方法一：设所求直线方程为a+b=1(a<0，b>0)， -222b因为a+b=1，所以a=2-b.
又因为a<0，所以b>2，
4?4?b21b2b4(b-2)?(b-2)??b-2?b-2+4=8，?+4≥22-b=b-2 =(b+2)+b-2=?S△ABC=-2ab=-2·当4且仅当b-2=b-2，即b=4时S最小.此时a=-4，b=4，
故所求直线方程为x-y+4=0.
方法二：设所求直线方程为y-2=k(x+2)，显然k>0，
21??1--2k???kk??≥8.当且仅当k=1时取等号，2根据题意，知S△ABC=|2k+2|· =4+2故所
求直线方程为x-y+4=0.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第105~106页.
【检测与评估】
第十章 解析几何初步
第53课 直线的基本量与方程
一、 填空题
π1．直线x=tan4的倾斜角为 .
3π2．若经过A(4，2y+1)，B(2，-3)两点的直线的倾斜角为4，则y= .