发布时间 : 星期一 文章2014年六年级数学思维训练：数论综合三更新完毕开始阅读
26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？
【分析】利用如果一个数为n进制数，这个自然数和各个数为上的数字和除以n﹣1的余数相同，换句话说也就是关于n﹣1同余，由此利用同余分析解答即可． 【解答】解：若abc为n进制数，则abc=a+b+c（modn﹣1）， 设这个数为x，
由题意可得x=5（mod3）， x=8（mod5）， x=9（mod7），
则x=23（mod105） x=23或128， 23=113（4进制） 23=35（6进制） 23=27（8进制） 23满足题意．
128=3000（4进制） 128=332（6进制） 128=200（8进制） 符合条件的为23． 答：这个数是23．
27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
【分析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．
【解答】解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除 那么有100a+b=k（a+b）÷2（ k为大于0的整数） 即（200﹣k）a=（k﹣2）b
由于a，b均为质数，所以k﹣2可以整除a，200﹣k可以整除b 那么设k﹣2=ma，200﹣k=mb，（ m为整数） 得到m（a+b）=198 由于a+b可以被2整除 所以m是99的约数
可能是1，3，9，11，33，99
若m=1，a+b=198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数 若m=3，a+b=66 则 a=13 b=53 或a=19 b=47 或a=23 b=43 或a=29 b=37
若m=9，a+b=22 则a=11 b=11（舍去） 其他的m值都不存在满足的a，b
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综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对 13×53=689，19×47=893，23×43=989，29×37=1073 所以两个质数乘积最大是：1073 乘积最小是：689
答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是689．
28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？
【分析】我们看能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．这个差是几，那么余数就是几．
【解答】解：设一个五位数是，奇位数字之和与偶位数字用A、B来表示，另A＞B，有≡A﹣B≡k（mod11），其中0≤K≤10． （1）用1、2、3、4、5组成的一个，数字和为A+B=15，因为A+B与A﹣B奇偶数相同，那么用1、2、3、4、5不能 组成余数为0的数，所以不能找到使得他们除以11的余数互不相同．
（2）用1、3、4、6、8组成一个，数字和为A+B=22，因为A+B与A﹣B奇偶相同，那么A﹣B一定为偶数，那些奇数的余数只能出现在A﹣B＞11时，当K=9，那么A﹣B=20不可能出现，所以不能找到使得它们除以11的余数互不相同．
29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？ 【分析】（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=2×3×3×5×7，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：3×7=21，据此解答即可；
（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，进而求出它们的最小公倍数即可． 【解答】解：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数， 设d=（A，B，630），630=2×2×3×3×3×5，
因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数， 所以d的因数中不可能包含5，
又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，
l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数， 所以A、B的公约数中不可能包含9， 即d的因数中不可能包含9，
则d的最大值为：3×7=21，此时这两个三位数分别是：231、546， 即A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是21．
（2）当这两个三位数分别是：231、546时，
231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小， 因为231=21×11，546=21×2×13，630=21×2×3×5， 所以231、546、630这三个数的最小公倍数是：
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21×11×2×13×3×5=90090．
30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”． 【分析】能被1、3、9、11、33、99整除的数，各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被1、3、9、11、33、99整除，由此写出答案即可．
【解答】解：符合条件的数有1，3，9，11，33，99都是“巨人数”．
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参与本试卷答题和审题的老师有：齐敬孝；73zzx；pysxzly；奋斗；xiaosh；lqt；duaizh（排名不分先后） 菁优网
2016年5月22日
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