发布时间 : 星期一 文章2014年六年级数学思维训练：数论综合三更新完毕开始阅读
或（abc）=125d+1，125d+1=8n，∴8|5d+1，d=3．
答：变不掉的三位数尾巴是000，或001，或376，或625．
18．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．
【分析】设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z，首先根据其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积，分别求出x、z的值，然后求出y的值即可． 【解答】解：设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z， （1）根据题意，可得因为
=
是一个整数， =4﹣
，它是一个整数，
所以x+4=8，或x+4=16， 解得x=4，或x=12；
（2）根据题意，可得因为
是一个整数，
，它是一个整数，
所以z+3=9， 解得z=6；
（3）x=4时，y=4或y=12，z=6， 因为当x=4，y=4，z=6时，
4+6=10，4×6=24，10不能整除24，不符合题意， 因此x=4，y=12，z=6；
（4）x=12时，y=6或y=12，z=6， 综上，可得满足条件的数有3组：
12、6、6，或12、12、6，或4、12、6．
19．M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问： （1）如果M和N的最大公约数是7，求M； （2）如果M和N的最大公约数是21，求M．
【分析】设M=abc，N=bca，则M﹣N=100a+10b+c﹣（100c+10b+a）=99a﹣99c=99（a﹣c）； （1）因为M和N的最大公约数是7，所以M与M﹣N的最大公约数也是7，可得99（a﹣c）是7的倍数，所以a﹣c=7，解得
，所以M=9b2或M=8b1，然后根据是
7的倍数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，求出b的值，进而求出M的值即可； （2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数，所以它即是7的倍数，又是3的倍数，然后根据是7、3的倍数的特征，求出b的值，进而求出M的值即可．
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【解答】解：设M=abc，N=bca，则M﹣N=100a+10b+c﹣（100c+10b+a）=99a﹣99c=99（a﹣c）；
（1）因为M和N的最大公约数是7， 所以M与M﹣N的最大公约数也是7， 可得99（a﹣c）是7的倍数， 所以a﹣c=7， 解得
，
M=9b2或M=8b1，M是7的倍数， ①当M=9b2时，
可得90+b﹣4=86+b是7的倍数， 此时b=5，M=952； ②当M=8b1时，
可得80+b﹣2=78+b是7的倍数， 此时b=6，M=861，N=168，
因为861、168的最大公约数是21， 所以不符合题意，舍去；
综上，如果M和N的最大公约数是7，则M=952；
（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数， 所以它即是7的倍数，又是3的倍数， 解得M=861，N=168．
所以如果M和N的最大公约数是7，则M=861．
20．用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？ 【分析】设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：2×2×3=12，据此解答即可． 【解答】解：设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数， 设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，
因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数， 所以d的因数中不可能包含5，
又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，
l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数， 所以A、B的公约数中不可能包含9， 即d的因数中不可能包含9， 则d的最大值为：2×2×3=12．
答：A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是12．
21．请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．
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【分析】根据约数的概念，经过多次试探，可排出：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；还有其他情况．
【解答】解：有以下两种排列方法：
①6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11； ②11、1、2、7、3、8、4、9、5、10、6．
22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？
【分析】根据题意我们可以用两种线实际操作演示，通过演示得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；再根据m＞n和红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，推出最小值．
【解答】解：我们可以实际操作，通过操作得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；
则（2m+1）+（2n+1）=100a（a为正整数）， 2m+2n+2=100a， a=
，
因为（2m+1）有最小值，则m要有最小值， 又因为a为正整数，且m＞n， 则得到：a=1，m+n=49， 那么m=25，n=24． 则2m+1=50+1=51（条）． 答：红色短线至少有51条．
三、解答题（共8小题，满分0分）
23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n． 【分析】根据题意，可得
是一个整数，因为
=
=25﹣
，它是
一个整数，而且625=125×5=625×1，所以25+n=125，或25+n=625，进而求出n的值即可． 【解答】解：根据题意，可得因为
=
=25﹣
是一个整数，
，它是一个整数，
而且625=125×5=625×1，
所以25+n=125，或25+n=625， 解得n=100，或n=600．
故n=100，或n=600时，25+n能整除25×n．
24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．
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【分析】显然这个数至少有两个质因子．设所含质因子中最小两个为p，q（p＜q），（此数只含有一个质因子P的话，最小四约数为1，p，p，p，其平方和=此数不被p整除．矛盾） 如果p不为2则该数为奇数，约数全奇，四个奇数的平方和为偶数 不等于该数 矛盾．p=2该数为偶数，该数最小四因子为1，2，a，b时，a、b不可同时为偶或者同时为奇，否则平方和为奇数也不等于该数．
分奇偶情况讨论如下：最小四约数可能为1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可． 【解答】解：（1）最小四约数可能为1，2，q，2q令n=2kq， 此时2kq=1+4+5q=5（q+1）右边含质因子q 只能q=5， 代入检验有k=13，该数为130；
（2）最小四约数可能为1，2，4，q，其中q为大于4的质数，令n=4kq．
2
此时4kq=q+21得到q|21，只能q=7， 代入检验k无整解．
于是符合要求的只有130．
25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？
【分析】设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与M﹣N的最大公约数也是63，
可得999（a﹣d）是7、9的倍数，所以a﹣d=7，解得
，所以M=9bc2或M=8bc1，
2
2
2
3
M是7、9的倍数，然后分类讨论，求出原四位数可能是多少即可．
【解答】解：设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；
因为M和N的最大公约数是63，
所以M与M﹣N的最大公约数也是63， 可得999（a﹣d）是7、9的倍数， 所以a﹣d=7， 解得
，
M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数， ①当M=9bc2时， 因为M是9的倍数，
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数， 因此b+c=7或b+c=16（舍去）， 经验证，9702满足题意， 同理，2709也满足题意； ②当M=8bc1时， 因为M是9的倍数，
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数， 因此b+c=9或b+c=18（舍去）， 经验证，8631满足题意， 同理，1638也满足题意，
综上，原四位数是9702、2709、8631或1638．
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