发布时间 : 星期五 文章2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题2-3函数的奇偶性与周期性（讲）含答案更新完毕开始阅读
专题2.3 函数的奇偶性与周期性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
知识点一 函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－奇函数 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 知识点二 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【特别提醒】
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 1
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
f（x）1
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
f（x）4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
考点一 函数奇偶性的判定
【典例1】 （2019·四川成都七中模拟）判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1)
1－x
； 1＋x
2??－x＋2x＋1，x>0，
(2)f(x)＝?2
?x＋2x－1，x＜0；?
4－x2
(3)f(x)＝；
x2
(4)f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a>0且a≠1)． 1－x
【解析】(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，
1＋x所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数． (2)法一：定义法
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 法二：图象法
作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
?4－x2≥0，?
(3)因为?2所以－2≤x≤2且x≠0，
?x≠0，?
所以定义域关于原点对称． 4－－x
又f(－x)＝
－x2
2
4－x2＝，
x2
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数． (4)函数的定义域为R，
因为f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋
－x
2
＋1]＋loga(x＋x2＋1)
＝loga(x2＋1－x)＋loga(x2＋1＋x) ＝loga[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数； f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。 (3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
xx
【变式1】（2019·贵州凯里一中模拟）已知f(x)＝x，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
22－1A.f(x)＋g(x)是偶函数 C.f(x)g(x)是奇函数 【答案】A
【解析】令h(x)＝f(x)＋g(x)， xx
因为f(x)＝x，g(x)＝，
22－1x·2x＋xxx
所以h(x)＝x＋＝，
2－122（2x－1）定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
－x·2x－xx（1＋2x）
因为h(－x)＝＝＝h(x)， －
2（2x－1）2（2x－1）所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数， x2
令F(x)＝f(x)g(x)＝，
2（2x－1）定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
（－x）2x2·2x
所以F(－x)＝＝， －
2（2x－1）2（1－2x）因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，
－
B.f(x)＋g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数
所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 考点二 函数奇偶性的应用
【典例2】（2019·陕西西安中学模拟） 设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为( )
A．g(x)＝x3 C．g(x)＝1＋x 【答案】B
【解析】因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.
【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
B．g(x)＝cos x D．g(x)＝xex
??log2?1?x??x?0?【变式2】（2019·广西南宁三中模拟）设函数f?x???，若f(x)是奇函数，则g(3)??g?x??1?x?0?的值是( )
A．1 C．－3 【答案】C
B．3 D．－1
??log2?1?x??x?0?【解析】∵函数f?x???，f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，∴log2(1＋3)＝－(g(3)＋
gx?1x?0??????1)，则g(3)＝－3.故选C.
考点三 函数的周期性
【典例3】 (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 【答案】C 【解析】
方法一： ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x). ∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
B.0 C.2 D.50