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习题一
1．设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pqk,k?0,1,2,...。求X的特征函数、EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b）的?分布的特征函数，其概率密度函数为
?bpp?1?bxxe,x?0?p(x)???(p)?0,x?0?b?0,p?0（2）求其期望和方差；
（3）证明对具有相同的参数b的?分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z=lnF(X)，并求E(Zk)（k为自然数）。
4．设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求 X k的分布。
k?1?nejt(1?ejnt)5．试证函数 f (t ) ? jt 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
n(1?e)6．试证函数 f ( t ) ? 2 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(a,?2)，试求n维随机向量率密度函数。
11?t1nX1,X2,...,Xn的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X ? ? X i的概
ni?18．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为(p1,b),(p2,b)的?分布。求X+Y的分布。 9．已知随机向量（X, Y）的概率密度函数为
?122?[1?xy(x?y)],?1?x,y?1p(x,y)??4
??0,其他试求其特征函数。
（X1,X2,X3,X4）10．已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩
阵为B=(?kl)4?4，求E(X1,X2,X3,X4)。
11．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,1)，试求随机变量Y1?X1?X2和
Y2?X1?X3组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。
12．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,?2)，试求：
（1）随机向量(X1, X2, X3)的特征函数；
X3,S?1X?（2）设S1?X1,S求随机向量(S1, S2, S3)的特2?X1?22X?3X，
征函数；
（3）Y1?X2?X1和Y2?X3?X2组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。 13．设(X1, X2, X3)服从三维正太分布N(0,B)，其中协方差矩阵为B=(?ld)3?3，且
2?11??22??33??2。试求E[(X12??2)(X2??2)(X32??2)]。
14．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(0,?2)。试求
Yn?exp(??Xi2)的期望。
i?1n15．设X、Y是相互独立同分布的N(0,1)随机变量，讨论U?X2?Y2和 V ? 的独立性。
和 V ? 的独立性。
17．设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数分别如下，试求E(X|Y?y)。 16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论U?X?YXYXX?Y?1?y?xy,x?0,y?0?e（1） p(x,y)??y? ?0,其他
??2e??x,0?y?x（2） p(x,y)???0,其他18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0, 1]上的均匀分布，Y服从参数为?的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。
0n???n19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且 X n ~ ? 1 2 1 ? ，
???K1?KK?nn?其中K是正常数。试求： ?n（1）当K>1时，Xn几乎肯定收敛于0； （2）当K>2时，Xn均方收敛于0； （3）当K>3时，Xn不均方收敛于0。
ppp?a,Yn???b，试证明Xn?Yn???a?b。 20．设Xn?? 习题二
??11?1．设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布 ? 1 ? ，令 1?? ?22?nY(0)?0，Y (n X i，试求： ) ??i?1 （1）随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数；
（2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值； （3）P[Y(n)=k]； （4）均值函数； （5）协方差函数。 2．设X(t)?Acos?t?Bsin?t，其中A、B是相互独立且有相同的N(0,?2)分布
的随机变量，?是常数，t?(??,?)，试求：
（1）X(t)的一个样本函数； （2）X(t)的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。
3．设随机过程 X ( t ) ? ( Y k cos ? k t ? Z k sin ? ), t ? 0 。其中Y1,Y2,...,Yn， kt
k?1?nZ1,Z2,...,Zn是相互独立的随机变量，且Yk,Zk~N(0,?k2),k?1,2,...,n。
（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；
（2）证明{ X(t)}是正太过程。 4．设{Wt(),t0}?是参数?2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：
1t?12（3）X(t)?cW(ct),t?0； （4）X(t)?W(t)?tW(t),0?t?1。
（1）X(t)?W2(t),t?0； （2）X ( t ) ? tW ( ), t ? 0 ；
5．设到达某商店的顾客组成强度为?的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{Y(t),t?0}是购买商品的顾客流，证明{Y(t),t?0}是强度为?p的Poisson流。
6．在题5中，进一步设{Z(t),t?0}是不购买商品的顾客流，试证明{Y(t),t?0}与{Z(t),t?0}是强度分别为?p和?(1?p)的相互独立的Poisson流。
7．设{N1(t),t?0}和{N2(t),t?0}分别是强度为?1和?2的独立Poisson流。试证明：
（1）{N1?N2(t),t?0}是强度为?1??2的Poisson流；
0}的任一到达时间间隔内，{N2(t),t?0}恰有k个时间发（2）在{N1(t),t?生的概率为
pk??1?1??2?(?2?1??2)k,k?0,1,2,...8．设{N(t),t?0}是Poisson过程，?n和Tn分别是{N(t),t?0}的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明：
（1）E(?n)?nE(Tn),n?1,2,...； （2）D(?n)?nD(Tn),n?1,2,...。
9．设某电报局接收的电报数N(t)组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：
（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。
10．设{N1(t),t?0}和{N2(t),t?0}分别是强度为?1和?2的独立Poisson过程，令X(t)?N1(t)?N2(t),t?0，求{X(t),t?0}的均值函数与相关函数。 11．设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，T是服从参数为?的指数分布的随即变量，且与{N(t)}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。
习题三
1. 证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。
2. 设Xn,n?1,2,...，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方差为1，定
1n义Yn??Xi。证明limXn??。
n??ni?13. 研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
（1）X(t)?At?B，其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为s1、s2；
（2）X(t)?At2?Bt?C，其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为s1、s2、s3； （3）{N(t),t?0}是Poisson过程； （4）{W(t),t?0}是Wiener过程.
4. 试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值
函数和相关函数。
5. 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。 （1）X(t)?cos(?t??)，其中?是常数，?服从[0,2π]上的均匀分布； （2）X(t)?tW??,t?0, 其中W(t)是参数为1的Wiener过程； （3）X(t)?W222222?1??t??t?,t?0，其中W(t)是参数为s2的Wiener过程。
2?0.5(t?s)6. 均值函数为mx(t)?5sint、相关函数为Rx(s,t)?3e的随机过程