发布时间 : 星期六 文章压轴题：平行四边形更新完毕开始阅读
28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°；
当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标
为（a，b），试求2S1S3－S2的最大值，并求出此时a、b的值． y
D C
D C
P S3 S1 P
S2 A B A (O) B x （图①） （图②）
31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
D Q C
N
M F
A B E P
33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．
（1）直接写出点H到AD的距离；
（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值； （3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．
E B C
F
H
A D G
5
2
34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．
（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；
（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．
A
A
B D
B D
E F F
E C C
图1 图2
35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90o，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF． （1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．
A A
F
B C B C
D G
备用图
E
37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． A P D A P D E
C B B C F (E) (F) 图1 图2
6
38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断
11＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请DMDN
说明理由．
N
F F C C F C B B B
E E P O P E D D D A A M A
图1 图2 图3
40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′ 与C′E重合，且C′A过点E． （1）试证明C′G∥EF；
（2）若点A′ 与点E重合，求此时图形重叠部分的面积． C′ D D A A F
B C B C G E
A′
备用图
B′
42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）． （1）求证：AF＝AQ；
（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？
（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？
D P C
G
F
D G F A 图2
Q P C E A 图1
Q 7
B E B
43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G． （1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′交BC边于F′点，且F′点与C点不重合，射线ED′交AD边于点M，作F′N∥ED′交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值
D′ 范围．
A D A M D
N
G E E
B F C B C F′
图1 图2
45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点． （1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；
（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式． y
E
D C
F
x A B
G
46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；
G C D （3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．
F
H
A E B 8