发布时间 : 星期一 文章2020高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时 排列的综合应用学案 新人教A版选修2-3更新完毕开始阅读
2020
第2课时 排列的综合应用
学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列数公式
An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝
nmn！*
(n，m∈N，m≤n)
n－m！
An＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘) 另外，我们规定0！＝1. 2．排列应用题的最基本的解法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数． 3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( ) A．6 C．9
2
B．8 D．12
C [由An＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【导学号：95032035】
48 [从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A4种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A4＝48个．]
3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
24 [把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A4＝24种．]
4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
186 [可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A7－A4＝186(种)．]
3
3
4
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[合 作 探 究·攻 重 难]
无限制条件的排列问题 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【导学号：95032036】
[思路探究] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A5＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
[规律方法] 1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解． [跟踪训练] 1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
720 [问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A10
＝10×9×8＝720.]
3
3
排队问题 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置． (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起． (4)全体排成一行，男、女各不相邻．
(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变． (6)排成前后二排，前排3人，后排4人.
【导学号：95032037】
[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素
[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A3种，其余6人全排列，有A6种．由分步乘法计数原理得A3A6＝2 160种．
(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A6种，余下的6个位置全排列有A6种，但应剔除乙在最右边的
1
6
6
16
1
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排法数AA种．则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种．
(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A3种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A5种排法，共有A3A5＝720种．
(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A3A4＝144种．
(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进A7
行全排列，则为七个人的全排列，因此有A＝N×A，∴N＝3＝840种．
A3
77
33
7
34
5
35
3
155516661555
(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A7＝5 040种． 注意：解(6)时易出现A3A4的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻． [规律方法]
1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．
2．元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件 元素相邻 元素 不相邻 [跟踪训练] 2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间，乙必在两端； (2)甲不在左端，乙不在右端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)男生不全相邻．
[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有： 2×7×A7＝70 560种
(2)按甲在不在右端分类讨论．
甲站右端的有：A8种；甲不在右端的有：7×7×A7种； 共有：A8＋7×7×A7＝A7×(8＋49)＝287 280种． (3)(捆绑法)A2·A4·A5＝5 760种．
(4)(插空法)先排4名男生有A4种方法，再将5名女生插空，有A5种方法，故共有A4·A5＝2 880种排法． (5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A9－A4·A6＝345 600种．
9
4
6
4
5
4
5
2
4
5
8
7
7
8
7
7
34
7
解题策略 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看做一个整体参与其他元素排列 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中 数字排列问题 [探究问题]
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1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．
2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?
[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？ (3)不大于4310的四位偶数.
【导学号：95032038】
[思路探究] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
[解] (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A3种填法，第二步再填十万位，有A4种填法，第三步填其他位，有A4种填法，故共有A3A4A4＝288(个)六位奇数．
法二：从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A4种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A3种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A4种排法，故共有A4A3A4＝288(个)六位奇数．
法三：排除法
6个数字的全排列有A6个，0,2,4在个位上的六位数为3A5个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A4
个，故满足条件的六位奇数共有A6－3A5－3A4＝288(个)．
(2)法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A5个，0在十万位且5在个位的六位数有A4个． 故符合题意的六位数共有A6－2A5＋A4＝504(个)． 法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类： 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A5个． 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A4A4A4个． 故共有符合题意的六位数A5＋A4A4A4＝504(个)． (3)用直接法
①当千位上排1,3时，有A2·A3·A4个． ②当千位上排2时，有A2·A4个．
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1
2
5
114
1145
6
5
4
5
4
6
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4
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4
4
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