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LNB极化角简易算法的误差分析
杨建平
（1） 问题的提出
大家知道，计算高频头的极化角，现在已经有精确的三角函数计算公式： sin（-φ）
极化角P ＝ arctg ————— ??????????????（1）
tgθ
上式中，φ＝卫星定点经度－地面站所在地经度，θ＝地面站所在地纬度。
现在，在寻星族中最热门的卫星，恐怕是泛美二号、亚太二R了。Ku 波段的小天线，非常简单灵活，对好星之后，一般要调一下极化角。笔者认为，目前能将极化角的误差调到5°以内就算高手，10°以内影响不大，15°以上就不能及格。但是，极化角难以捉摸，用寻星器调不准、用公式（1）计算太烦琐、参考文献上也没有现成的表格资料、看着画面调整更是丈二和尚摸不着头脑。怎么办？
日前，笔者在网上无意中看到了二位寻星烧友的对话： 笔名叫“小毛虫”的问：“老哥，接收泛二的极化角把握不住，有何妙计？” 自称“万事发香烟”的答：“简单简单，用卫星经度减去当地经度就得了。” 我急忙翻阅我的所在地——珠海市的极化角数据表，泛二的极化角应该是63.8°,而用φ＝169°－113°＝56°来代替极化角，和理论值的误差是7.8°＜10°,正好在“影响不大”之例。难道这样简易的减法竟能代替复杂的三角函数吗？带着一股好奇心，我把全部星位用简易算法计算了一遍，问题来了。 （2）简单算法的误差有多大？
表一右面第二列数据是简易算法的结果，与右面第三列的理论精确值之间的误差是很大的。而且靠站址经度113°两翼的卫星，极化角的误差很大。例如，124°的日本通信四号卫星，极化角的精确值应该是25.1°，可是简易算法的结果是11°，竟然相差二倍有余。简易算法只在三个地方是正确的：正南113°的极化角是0；偏东的极化角是正数（顺时针）、偏西的极化角的负数（逆时针）；177°左右的极化角几乎没有误差。这是为什么？
原来，我们居住的地球表面是圆弧形的，这就决定了卫星、站址的经度差φ与卫星电波的极化角呈非线性的三角函数关系，见图一中的实线。而简易算法是线性的，见图中的虚线。因此它和精确实线在第一象限最多只有二个交点，而本例正好发生在113°和177°。
（3）不用三角函数，能否计算出较准确的极化角呢？
答案是肯定的！但决不是用简单的加减乘除四则运算，而必须用到乘方和开方。我们知道，要近似地逼近一条曲线，最简单的办法可以用一条二次曲线来代替。由图一得到启发，简单极化角φ和精确极化角P之间，应可以用一条二次曲线来近似：
P＝±m√φ ???????????????????????（2）
式中：开方之前当然先取绝对值。正负号的选取原则是：φ＞0时取正，曲线在第一象限。当φ＜0时取负，曲线在第三象限。
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表（一）极化角的精确值、简单值、近似值对比
地名：珠海市，地理位置：东经 113 度，北纬 22.2 度 简易公式：极化角φ＝卫星定点经度－地面站位置经度 逼近公式：极化角 P＝±8.2×√φ
卫星定点 卫星名称 理论极化角P 简单算法结果φ 逼近算法结果P 位置（度） 非常精确 误差很大 误差较小 185.7 ＴＤＲＳ－５ 66.9 72.7 69.9 180 国际７０１ 66.1 67 67 177 国际７０２ 65.6 64 65.6 174 国际８０２ 65 61 64 169 泛美２号 63.8 56 61 166 泛美８号 62.9 53 59.7 148 米赛特２号 54.6 35 48.5 146 马部海 53.2 33 47 144 超鸟－Ｃ 51.6 31 45.7 138 亚太１号 46 25 41 134 亚太１Ａ 41.3 21 37.6 128 日本通信３号 32.4 15 31.8 极化角P 65.6° P＝±8.2√φ 近似算法 最大 误差 P＝φ简单算法 φ＝卫星经度－当地经度 45° 0 177°－113° 第三象限 φ＜时， 极化角P为负值 图一 如果已知表一中177°星位的精确极化角P，即表中小方框所示，则可以推
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算出上式中的m：
65.6＝ m√(177-113) ，解得，m＝8.2 于是，我们就获得了珠海市极化角的近似公式：
P＝ ±8.2√φ
其中，极化角P的负值表示：当卫星处在正南的西面，卫星经度减站址经度φ为负值时，图一中的精确曲线处在第三象限。以近似曲线方程式计算出其他所有卫星的极化角之后，填写到表一的最右边。由该列数据可知，近似极化角与精确极化角的最大误差不超过7°，显然比简单算法的精度大大提高，而且已经相当接近于5°这个“高手值”了。 （4）站址纬度θ对计算结果的影响
上面讨论的近似方程中，因为是根据特定的地理位置总结计算的，没有用到站址的纬度。而实际上，极化角的精确的三角函数公式（1）中，是与纬度θ有关的。因此推断，当纬度变化时，逼近公式（2）将不再适用。例如，随便选择一个北方的城市如石家庄，地理位置是东经114.48°,北纬38.03°.根据上面的步骤，得出：
P＝±6.16√φ
经过计算每一个星位的极化角，与精确值对比之后，发现误差也不大于7°。上式中的m系数与珠海市的m系数完全不同，这是正常的。因为地球的弧度，对经线与纬线方向上的影响是一样的。纬度越高，m越小。因此，如果要推算出一个全国统一的近似方程式，则系数m也分别对应了一个与纬度有关的二次方程，所以，更为精确的逼近公式估计是一个四次方程式，这将把问题变得复杂化，倒不如直接用三角函数计算来得方便。
科学型的函数计算器，在市面上买一个也不过二百元。所以，仅用初中的数学知识，就可以按（1）式进行精确计算，一般不会感到太大的困难。只是角度先要换算到弧度，反正切之后再换回到角度。计算的时候，一不小心很容易出错。但是，当你想到得到的数值是标准的精确结果，对日后降低雨衰的影响、提高收视的可靠性是多么重要，也就不要怕这些小麻烦了。
综上所述，要想偷懒得到较精确的近似极化角是不太可能的。上述的近似公式（2）虽然误差极小，但得到这个方程的前提是首先要知道表一中的一个精确点P，如果手头已经有了表一，还要近似值干什么？此外，近似方程本身的推算过程也较麻烦，况且还有纬度的影响。但是无论如何，简单算法是要不得的，它在亚太二R上的误差竟有19°之多，显然“不及格”。这个结果将导致极化角的误差增大，从而降低了天线的效率，这是所有的发烧友都不期望的。 （5）全国卫星天线仰角、方位角、极化角实用资料库
根据笔者《卫星天线的仰角、方位角、极化角》介绍的方法（详情请见《卫视周刊》98年第19、20期），笔者建立了一个实用资料库，里面包含了全国二千座城市所对应的亚洲全部卫星的天线角度。各地发烧寻星一族、工程安装单位的工作室内，若有一份本地的所有卫星的仰角、方位角、极化角的数据表，对各自的工作和发烧，都是有益的。如果再进一步，将全国的资料存入光盘，走到哪里都可以随时调用，或者象百胜机那样，在天线帮助菜单中再增加极化角的计算和显示，会不会大受欢迎呢？
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