发布时间 : 星期一 文章高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例252向量在物理中的应用举例同步优化训练新人教A版必修4更新完毕开始阅读
2.5.2 向量在物理中的应用举例
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为( )
A.F·s·cosθ B.F·s·sinθ C.|F||s|cosθ D.|F||s|sinθ
解析：根据力对物体做功的定义，W=|F||s|cos(90°-θ)=|F||s|sinθ. 答案：D
2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( ) A.|v1|＜|v2| B.|v1|＞|v2| C .|v1|≤|v2| D.|v1|≥|v2|
解析：只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸. 答案：B
3.已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0，得(3，4)+(2，-5)+(x，y)=(0，0)， 即??3?2?x?0,?x?-5,∴?∴F3=(-5，1).
?4-5?y?0.?y?1.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试用向量知识加以解释.
解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1，F2，且F1=F2,两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：
|F1|=
|G|2cos?，θ∈［0，π］，当θ=0时,|F1|=
|G|2?；当θ=时,|F1|=|G|； 232??2?|G|2?又∈(0,)时,|F1|单调递增,故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈(,π)23232时,|F1|＞|G|.此时，欲悬空拎起小孩则容易造成小孩受伤.
2.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a， 设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
设OA=-a，OB=-2a.
1
∵PO?OA?PA，∴PA=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速. ∵PO?OB?PB，∴PB=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形， ∴PO=PB=2a，即|v|=2a. ∴实际风速是2a的西北风.
3.已知两恒力F1=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：
(1)F1、F2分别对质点所做的功； (2)F1、F2的合力F对质点所做的功.
解析：设物体在力F作用下位移为s,则所做的功为W=F·s.
AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·AB=(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳). W2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15)=-3(焦耳). (2)W=F·AB
=(F1+F2)·AB［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=-102(焦耳).
4.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O点出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里?
解析：用向量OA的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用OB表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,连结OC.
依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,
∴∠BOC=30°,即船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1，2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(-2，1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=______________________. 解析：∵P0(-1,2),Q 0(-2,1),∴P0Q0=(-1,-3). 又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=2. ∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=13.
2
∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴PQ=(-1+2t,-3+t).∵PQ⊥P0Q0,
∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2. 答案：2
2.如图2-5-6所示,已知两个力F1、F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10 N.求F1和F2的大小.
图2-5-6
解：|F1|=|F|cos60°=10×
13=5 N，|F2|=|F|sin60°=10×=53 N. 22∴F1的大小为5 N，F2的大小为53 N.
3.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际
航行的速度的大小为4 km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2. 解：|v1|=|v|·sin60°=4×
13=23(km/h)，|v2|=|v|·cos60°=4×=2(km/h).
22∴v1的大小为23 km/h，v2的大小为2 km/h.
4.飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好
在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移. 解：如图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意，AB的方向是北偏西60°，|AB|=1 000 km；AC的方向是南偏西60°，|AC|=2 000 km，所以∠BAC=60°.
过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形. 所以BD=CD=1 000 km，∠CBD=∠BCD=所以∠ABC=90°. BC=ACsin60°=2 000×
1∠BDA=30°. 23=10003(km)， 2 3
|BC|=10003(km).
所以飞机从B地到C地的位移大小是10003 km，方向是南偏西30°.
5.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别
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为多少?(g=10 m/s)
解：如图所示，设木块的位移为s，
则F·s=|F||s|cos30°=50×20×
3=5003(J). 2将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为 |F1|=|F|sin30°=50×
1=25(N)， 2所以，摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N). 因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F和f所做的功分别是5003 J和-22 J.
6.如图2-5-7所示,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O 1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动. (1)起初两个人的距离是多少?
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(2)什么时候两人的距离最近?(△ABC的三边长为a，b，c，则有如下结论：b=a+c-2accosB)
图2-5-7
解：(1)起初两人分别在A、B两点,则|OA|=3,|OB|=1. ∴|AB|=|OA|+|OB|-2|OA||OB|cos60°=9+1-2×3×1×
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1=7. 2∴|AB|=7 km,即起初两人相距7 km. (2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q， 则|AP|=4t,|BQ|=4t,
又∵甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动，
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