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另解 设所求点为M (x? y? z)? 则AM?(x?x1, y?y1, z?z1)? MB?(x2?x, y2?y, z2?z)? 依题意有AM??MB? 即
(x?x1? y?y1? z?z1)??(x2?x? y2?y? z2?z)? (x? y? z)?(x1? y1? z1)??(x2? y2? z2)??(x? y? z)? (x, y, z)?1(x1??x2, y1??y2, z1??z2)?
1?????? x?x1??x2y??y2z??z? y?1? z?12? 1??1??1????点M叫做有向线段AB的定比分点(?分点)? 当??1? 点M的有向线段AB的中点? 其坐标为 x?x1?x2y?yz?z? y?12? z?12? 222?????通过本例,我们应注意以下两点:(1)由于点M与向量OM有相同的坐标,因此,求点M的坐标,就是求OM的坐标.(2)记号(x? y? z)既可表示点M,又可表示向量OM,在几何中点与向量是两个不同的概念,不可混淆.因此,在看到记号(x? y? z)时,须从上
下文去认清它究竟表示点还是表示向量.当(x? y? z)表示向量时,可对它进行运算;当(x? y? z)表示点时,就不能进行运算.
五、向量的模、方向角、投影
1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r?(x? y? z)? 作OM?r? 则
r?OM?OP?OQ?OR?
???????????????按勾股定理可得
|r|?|OM|?|OP|2?|OQ|2?|OR|2?
设
OP?xi? OQ?yj? OR?zk?
有
|OP|?|x|? |OQ|?|y|? |OR|?|z|?
于是得向量模的坐标表示式
|r|?x2?y2?z2?
设有点A (x1? y1? z1)、B(x2? y2? z2)? 则
《空间解析几何与向量代数》- 9 -
???
AB?OB?OA?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1)?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)? 于是点A与点B间的距离为
|AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2???
例4 求证以M1(4? 3? 1)、M2 (7? 1? 2)、M3 (5? 2? 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形?
解 因为 | M1M2|2 ?(7?4)2?(1?3)2?(2?1)2 ?14? | M2M3|2 ?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2 ?6? | M1M3|2 ?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2 ?6? 所以|M2 M3|?|M1M3|? 即? M1 M2 M3为等腰三角形?
例5 在z轴上求与两点A(?4? 1? 7)和B(3? 5? ?2)等距离的点? 解 设所求的点为M(0? 0? z)? 依题意有|MA|2?|MB|2? 即
(0?4)2?(0?1)2?(z?7)2?(3?0)2?(5?0)2?(?2?z)2? 解之得z?14? 所以? 所求的点为M(0, 0, 14)?
99???? 例6 已知两点A(4? 0? 5)和B(7? 1? 3)? 求与AB方向相同的单位向量e? 解 因为AB?(7, 1, 3)?(4, 0, 5)?(3, 1, ?2)?
|AB|?32?12?(?2)2?14?
???所以 e?AB?1(3, 1, ?2)?
?14|AB|
2. 方向角与方向余弦
当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹角称为向量a与b的夹角? 记作(a,^ b)或(b,^ a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值?
?
《空间解析几何与向量代数》- 10 -
类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角?
非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角?
向量的方向余弦?
????? 从上方右图可见，设OM=r?(x? y? z)? 则
x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ?
cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?
y cos??x? cos??? cos??z?
|r||r||r|从而
(cos?, cos?, cos?)?1r?er?
|r|上式表明? 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ? 因此
cos2??cos2??cos2??1?
例7 设已知两点A (2, 2, 2))和B (1, 3, 0)? 计算向量AB的模、方向余弦和方向角?
解 AB?(1?2, 3?2, 0?2)?(?1, 1, ?2)? |AB|?(?1)2?12?(?2)2?2? co?s??1? cos??1? cos???2?
222??? ??2?? ???? ?? 3??
????例8 设点A位于第一卦限，向径OA与x轴? y轴的夹角依次为?和?，且
34????|OA|=6，求点A的坐标.
解
???3，??334?
4.由关系式cos2??cos2??cos2??1 .得
12221
cos??1-（）?（）?，2242因点A在第一卦限，知cosγ>0,故
《空间解析几何与向量代数》- 11 -
cos??1 2?于是 ???????121 ?????6OA?|OA|eOA(,,)?(3,33,3),222这就是点A的坐标.
3. 向量在轴上的投影
设点O及单位向量e确定u轴?
任给向量r? 作OM?r? 再过点M作与u轴垂直的平面 交u轴于点M?(点M?叫作点M在u轴上的投影)? 则向量OM? 称为向量r在u轴上的分向量? 设OM???e? 则数?称为
向量r在u轴上的投影? 记作Prjur或(r)u ?
按此定义? 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax? ay? az就是a在三条坐标轴上的投影? 即
ax?Prjxa? ay?Prjya? az?Prjza?
或记作
ax? (a)x? ay? (a)y ? az? (a)z
投影的性质?
性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)?
性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?
???????????例9 设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求OA在OM方
????向上的投影P?????OA.
rjOM解
记?MOA=?，有
|OA|1 cos???|OM|3?????????于是?
?????????ａ????OA?PrjOM|OA|cos??3《空间解析几何与向量代数》- 12 -