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量,它们的指向也是相同的,而且
|?(?a)|?|?(?a)|?|(??)a|=|??||a|, 所以
?(?a)??(?a)?(??)a.
(2) 分配律 (???)a??a??a；
?(a?b)??a??b?
向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算. 例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?
试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?
解 由于平行四边形的对角线互相平分? 所以
a?b?AC?2AM? 即 ?(a?b)?2MA? 于是 MA??1(a?b)?
2 因为MC??MA? 所以MC?1(a?b)?
2?????????????????????????????????D?bC
M??????A ?a又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)?
2??????????????????B
由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?
2 向量的单位化? ?
设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? 于是a?|a|ea?
|a|
定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ?
证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?
设b // a? 取|?|?|b|? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a?
|a|这是因为此时b与?a同向? 且 |?a|?|?||a|?|b||a|?|b|?
|a| 再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得 (???)a?0? 即|???||a|?0? 因|a|?0? 故|???|?0? 即????
《空间解析几何与向量代数》- 5 -
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴? 设点O及单位向量i确定了数轴Ox? 对于轴上任一点P? 对应一个向量OP? 由OP//i? 根据定理1? 必有唯一的实数x? 使OP?xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值)? 并知OP与实数x一一对应? 于是
点P?向量OP? xi?实数x ?
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系? 据此? 定义实数x为轴上点P的坐标?
由此可知? 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是:
OP? xi ?
???????三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位?
(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线?
(3)数轴的的正向通常符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以90度角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.
?
在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面?
x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?
三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按
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逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示?
向量的坐标分解式?
任给向量r? 对应有点M? 使OM?r? 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体? 有
r?OM?OP?PN?NM?OP?OQ?OR? 设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 则 r?OM?xi?yj?zk?
上式称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量? 显然? 给定向量r? 就确定了点M及OP?xi? OQ?yj? OR?zk三个分向量? 进而确定了x、y、z三个有序数? 反之? 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M? 于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 M?r?OM?xi?yj?zk?(x, y, z)?
据此? 定义? 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标? 记作r?(x? y? z)? 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标? 记为M(x? y? z)?
向量r?OM称为点M关于原点O的向径? 上述定义表明? 一个点与该点的向径有相同的坐标? 记号(x? y? z)既表示点M? 又表示向量OM.
坐标面上和坐标轴上的点? 其坐标各有一定的特征? 例如? 点M在yOz面上? 则x?0? 同样? 在zOx面上的点? y?0? 在xOy面上的点? z?0? 如果点M在x轴上? 则y?z?0? 同样在y轴上,有z?x?0? 在z轴上 的点? 有x?y?0? 如果点M为原点? 则x?y?z?0.
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四、利用坐标作向量的线性运算
利用向量的坐标,可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下: 设 a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz) 即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? 则 a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)?
a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az)?
由此可见,对向量进行加减及数乘,只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了.
利用向量的坐标判断两个向量的平行??
设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ? 即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是?
例2 求解以向量为未知元的线性方程组??5x?3y?a?
?3x?2y?bbxbybz??? axayaz其中a?(2? 1? 2)? b?(?1? 1? ?2).
解 如同解二元一次线性方程组? 可得
x?2a?3b? y?3a?5b ?
以a、b的坐标表示式代入? 即得
x?2(2? 1? 2)?3(?1? 1? ?2)?(7? ?1? 10)? y?3(2? 1? 2)?5(?1? 1? ?2)?(11? ?2? 16)?
例3 已知两点A(x1? y1? z1)和B(x2? y2? z2)以及实数???1? 在直线AB上求一点M? 使AM??MB? 解 由于AM?OM?OA? MB?OB?OM? 因此 OM?OA??(OB?OM)?
??x??x2x1??x2x1??x21从而 OM?(OA??OB)?( 1, , )? 1??1??1??1???????????????这就是点M的坐标?
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