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空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算
一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
第二节 数量积 向量积 混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例
《空间解析几何与向量代数》- 1 -
一、
第一节 向量及其线性运算
向量概念
在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?
在数学上? 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.?
向量的符号?
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB?
向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F?
在实际问题中,有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位置有关,一个力与该力的作用点的位置有关）,有些向量与其起点无关.
自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合?
向量的大小叫做向量的模?
向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 模等于1的向量叫做单位向量?
模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?
两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?
当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?
类似还有向量共面的概念? 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面?
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二、向量的线性运算
1． 向量的加减法
向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b .
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则?
平行四边形法则?
当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平
?c C ?b
?b D ?c C
A
?a
B
A ?a B
行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ?
向量加法的运算规律? (1)交换律a?b?b?a?
(2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)?
这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），可见：
a?b?AB+BC?AC= c ? b+a=AD+DC= c,
所以符合交换律.类似很容易证明结合律也是成立的（见右图）.
由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an(n ?3)相加可写成
a1?a2? ? ? ??an?
并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的 法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为 起点? 最后一向量的终点为终点作一向量?这个向量 即为所求的和? （见右图）
设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a?
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向量的减法?
我们规定两个向量b与a的差为
b?a?b?(?a)，
即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有
??a
?b
?b
?a
??b?a
??b?a
a?a?a?(?a)?0?
显然? 任给向量AB及点O? 有
AB?AO?OB?OB?OA?
??????因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?
三角不等式?
由三角形两边之和大于第三边的原理? 有
|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?
其中等号在b与a同向或反向时成立?
2． 向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义?
向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反?
当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?
特别地? 当???1时? 有
1a?a? (?1)a??a?
运算规律?
(1) 结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a；
这是因为由向量与数的乘积的规定可知,向量?(?a),?(?a),(??)a都是平行的向
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