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模糊控制
学 院： 电气工程学院 姓 名： 赵 明 学 号： 任课教师： 刁 晨
班 级： 09级自动化3班
单倒置摆控制系统的状态空间设计
一． 设计题目
1. 介绍
单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
m z l θ u M
2. 用途
倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题,也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。单倒立摆的系统结构、数学模型以及系统的稳定性和可控性,对倒立摆进行了成功的控制,并在MATLAB 中获得了良好的仿真效果。倒立摆控制理论将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、伺服控制领域、导弹拦截控制系统、航空器对接技术等方面具有广阔的开发利用前景。
3. 意义
倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统. 人们试图寻找同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力 。同时，由于摩擦力的存在，该系统具有一定的不确定性。对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例进行研究。
二． 被控对象的模型
为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据
牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有
d2zd2?m2(z?lsinθ)?u Mdt2dt即
(M?m)z?mlθcosθ -mlθsinθ?u 由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 即
zcos??l?cos??l?sin?cos??gsin?
????2?2?????2 (1)
d2[m2(z?lsinθ)]lcosθ?mglsinθ dt (2)
式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为?、?均接近零，此时sin?≈?，cos?≈1，且可忽略??2??项，于是有
???? (M?m)z?ml??u
??
(3) (4)
z?l??g?
??
联立求解式(3) 、式(4)，可得
mg1??u MM??(M?m)1 ???g??u
MlMl z????
(5) (6)
消去中间变量?，可得输入变量为u、输出变量为z的系统微分方程为 z(4)(M?m)g??1??g?z?u?u
MlMMl?? (7)
在此问题中，设上述两变量的论域为?2?x1?2和?5rads?x2?5rads,则设计步骤为
第1步。首先，对x1在其论域上建立三个隶属度函数，即如图 1所示的正值（P）、零（Z）和负值（N）。然后，对x2在其论域上亦建立3个隶属度函数，即图2所示的正值（P）、零（Z）和负值（N）。
图2-3 输入x1的分区
图2-4输入x2的分区
第2步。为划分控制空间（输出），对u?k?在其论域上建立5个隶属度函数，
?24?u?k??24，如图3（注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段）。