发布时间 : 星期一 文章李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1更新完毕开始阅读
第一章 排列组合
1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？
解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；
千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；
故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为（或：
??-1＝14。
62???2*??＝14）
4241（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有
??-1
53??P(2,2)???*2种。
5241（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6
4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n个，其和为m。求n和m。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a1,a2,a3,a4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则
m = a1+10a2+100a3+1000a4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故
a2 = a3 = a4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。
5、 从{1，2，?，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数
字有多少个？ 解：1与2相邻：2??53??P(4,4)。故有1和2 但它们不相邻的方案数：
???P(5,5)?2????P(4,4)
5353只有1或2：2??54??P(5,5) 没有1和2：P(5,5)
1
55故总方案数：?53??P(5,5)?2??3??P(4,4)+2??4??P(5,5)+ P(5,5)
6、 安排5个人去3个学校参观，每个学校至少一人，共有多少种安排方案？ 解：方法一：有两种方案：①有两个学校只要一个人去，剩下的那个去3人；②有两个学校去2人，剩下的去1人。故方案数为：（＝150。 方法二：
????/2?????/2）*P(3,3)
51415232?????????????＝150。
5331523132217、 现有100件产品，其中有两件是次品. 如果从中任意抽出5件，抽出的产品
中至多有一件次品的概率是多少？ 解：无次品：?985?；
2 有一件次品：?984??1?
982 因此，概率为（?985?+?4??1?）/
??
10058、 有七种小球，每个小球内有1～7个星星。一次活动中，主办方随机发放礼
品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？ 解：方法一、
?7?2?12??28
方法二、（7×7-7）/2+7＝28
方法三、一个球是一星球，另一个球可以是一～七星球，故有7种； 一个球是二星球，另一个球可以是二～七星球，故有6种；
????
一个球是七星球，另一个球可以是七星球，故有1种。 因此，共7+6+?+1＝28种。
9、 服务器A接到发往服务器B、C、D、E、F的信包各3个，但它一次只能发出一个信包。问共有多少种发送方式？如果发往服务器B的信包两两不能相邻发出呢？ 解：（1）{3?B,3?C,3?D,3?E,3?F}的全排列
?(3?3?3?3)!?（2）其余4个服务器全排列，在插入B的三个：?33!3!3!3!?
????10、 有m个省，每省有n个代表，若从这mn个代表中选出k（k≤m）个组
成常任委员会，要求委员会中的人来自不同的省，一共有多少种不同的选法？
k
解：?mk??n
11、 7对夫妇围一圆桌而坐，每对夫妇都不相邻的坐法有多少种？ 解：7个夫人先坐：7!/7
第一个丈夫不坐在他夫人旁边，则有5个地方可以坐；
第二个丈夫由于可以坐在第一个丈夫旁边，故有6个地方可以坐；
2
????????
第7个丈夫有11分地方可以坐。
因此：5*6*7*8*9*10*11*7！/7＝1197504000。 12、 设S = {n1·a1, n2·a2,?,nk·ak}，其中n1 = 1，n2 + n3 +?+ nk = n，证明S的圆
排列的个数等于：
n!
n2!n3!???nk!证明：S的全排列为：
(1?n)!
n1!n2!?nk!(1?n)!n!/(n+1)=
n1!n2!?nk!n2!?nk!因为要排成(n+1)圆，故圆排列数为
13、 有8个大小相同的棋子（5个红的3个蓝的），放在12×12的棋盘上，
每行、每列都只能放一个，问有多少种放法. 解：
????P(12,5)P(7,3)
12573先放红的。选出5行出来
??，列可任选为P(12,6)。
125再先放蓝的。选出3行出来14、
??，列可任选为P(7,3)。
73设1≤r≤n，考虑集合{1,2,?,n}的所有r元子集及每个子集中的最小数，
n?1证明这些最小数的算数平均数为 .
r?1n证明：r元子集共?n r?个，于是共有?r?个最小数。下面我们求出这些最小数之和。
如果r元子集中的最小数为k，那么除k外的r-1个数只能从{k+1,k+2,…,n}
?kn?k中取，有?nr?1?种取法，即以k为最小数的r子集有?r?1?个，因此这些最小数
n?r?1之和为
?k??。于是平均数为???k??。
n?kr?1k?11nrn?r?1k?1n?kr?1nnnn?1由?nm???n?m?和?m???m?1???m?有 n?r?1k?1?(n?k?1)????r?n?kr?1k?1n?r?1n?kr?1nrn?rn?k?1r??r??k?1n?rn?k?1r??r??
n?1r?1(n?1)????(n?1)??
k?1n?r?1上面两式相减得：
?k???(n?1)???r??
n?kr?1nrn?1r?1k?1 3
因此15、
8n?1。 k??=?r?1??1nrn?kr?1k?1n?r?1用二项式定理展开(4x - 3y)8.
r8?r解：??8 r?(4x)(?3y)r?016、
(3y – 2z)20的展开式中，y5z15的系数是什么？
205解：?5?3(?2)15
17、 证明：
?????????????????????????
n0n2n4n1n3n5证明：该等式的组合意义是说，n元集S的偶子集数与奇子集数相等。 现在我们任取S中的一个元x。对S的任何一个偶子集A?S，如果x∈A，则令B＝A-{x}；否则，令B＝A∪{x}。B显然是S的奇子集。不难证明这是所有偶子集与所有奇子集之间的一一对应。所以，S的偶子集数与奇子集数相等。 18、
证明等式?k?k!?(n?1)!?1并讨论其组合意义.
k?0n证明：（n+1）！= n*n!+n!
n! = (n-1)*(n-1)!+(n-1)! ?????? 2! = 1*1!+1!
以上各式相加，整理得：(n+1)! = n+n!+(n-1)*(n-1)!+?+2*2!+1*1!+1 故
?k?k!?(n?1)?!1。
k?0n组合意义：将（n+1）个不同物体a1,a2,…,an+1放入（n+1）个不同的盒子A1,A2,…,An+1内的方法如下：
（a1不在A1内）+（a1在A1内但a2不在A2内）+（a1,a2分别在A1,A2内但a3不在A3内）+??+（a1,a2,…, ai分别在A1,A2,…, Ai内但ai+1不在Ai+1内）+??+（a1,a2,…, an+1分别在A1,A2,…, An+1内） 即： (n?1)!??k?k!?1
k?0n故 19、
?k?k!?(n?1)?!1
k?0n?n?km?n??m??证明：?mk(m?n?k)!
m!n!k!?n?km?n??m??证明：?mk(m?n?k)!(m?n)!(m?n?k)!??
k!(m?n)!m!n!m!n!k!4