发布时间 : 星期日 文章《光学-光的干涉》（游璞、于国萍）第四章教材习题 - 图文更新完毕开始阅读
第四章 一、相干光 1.1相干条件和相干叠加
如果两束(或多束)光波同时满足以下三个条件(称为相干条件): (1)光矢量存在相互平行的分量; (2)频率相同;
(3)在观察时间内各光波间的相位差保持恒定;
则称为相干光.相应的光源称为相干光源.我们将会看到，相干光波在叠加时所产生的光强不等于各光源单独造成的光强的简单相加，光强在极大与极小之间逐点变化。极大值超过各光波光强之和，极小值可能为零，这就是光波的干涉现象.现在以两束光为例，用复振幅方法计算干涉场的光强分布.
如图4-1所示，S1和S2是两个单色点光源，它们发出频率相同、振动方向相同的球面简谐波，其初相位分别为和，它们在叠加区城(干涉场)中任一点P的复振幅为
?=Aei(kd1??01)?Aei?1E111
i(kd??)i?2022?=AeE?Ae222根据叠加原理，在P点合振动的复振幅为
??E??E??Aei?1?Aei?2 E1212P点的光强为I????(Aei?1?Aei?2)(Ae?i?1?Ae?i?2)?A2?A2?AA[ei(?2??1)?e?i(?2??1)] ?EE12121212，所以I2?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)，或写成I?I1?I2?2I1I2cos?ei??e?i?因为cos??2?（4.1）
其中δ是S2和S1在P点产生的振动的相位差，即???2??1?2??(d2?d1)?(?01??02)?（4.2）
当满足δ=2mπ,m=0，士1，士2,?时，光强I达极大值，称干涉极大；而δ=（2m+1）π,m=0，士1，士2,?时，I达极小值，称干涉极小。整数m称为干涉级次。
从光强表示式(4.1)看出，I≠I1+I2，而是多出一个与空间位置有关的交叉项2I1I2cos?，这一项也称干涉项.因为cosδ
只随空间位
置(d2-d1)而变化，所以在干涉场中产生的是不随时间而变的在空间强弱交替的光强分布，这种叠加称为相干叠加.通常我们考察干涉场中一个面上的干涉现象，在这个观察面上的光强分布或颜色分布称为干涉图样或干涉条纹。 1.2 非相干叠加
下面分析不满足相干条件的光（非相干光）叠加会出现什么情况。 设两列光波的波函数为：
E1?A1cos(?1t?k1d1??01)?A1cos(?1t??1)E2?A2cos(?2t?k2d2??02)?A2cos(?2t??2)
由于两束光的光矢量方向可能不同，所以必须用矢量合成，P点的合成光矢量为E=E1+E2。
2将上式平方后，在观察的时间内求时间平均值，可得E2?E12?E2?2E1?E2
如果交叉项2E1?E2?0，则在叠加区域中的光强恒为I?I1?I2
则不可能出现光强重新分布的干涉现象，这包括以下情况: ① 两光波的光矢量互相垂直即E1⊥E2时，不满足相干条件(1)，有② 频率不同ω1≠ω2，假设此时E1∥E2。
E1?E2?0。
E1?E2=A1A2cos(?1t??1)cos(?2t??2)?1A1A2?cos[(?1??2)t?(?1??2)]?cos[(?1??2)t?(?1??2)]??（4.3） 2- 1 -
由于光频极高，ω1和ω2都达104Hz量级，在观察时间内求时间平均值时cos(?t??)?0，所以E1?E2?0。 ③ 相位差δ=θ1-θ2随时间迅速无规地变化。假设E1∥E2，ω1=ω2，则（4.3）式中的
cos(?1??2)?0，即
E1?E2?0。
综上所述，只要两光波不满足相干条件中的任何一个，则它们在叠加区的光强恒等于单个光源造成的光强的简单相加，即I=I1+I2。这种叠加称为非相干叠加。 二、杨氏实验
2．1 实验装置与光强分布
杨氏最初所做的实验如图4-2所示，用强光源照射针孔S，把它作为点光
源，发出球面波，在距S一定距离处放置另外两个小针孔S1和S2，它们把由S送出的球面波前分离出两个很小的部分作为相干光源.于是在由此两针孔发出的光波相遇的区域里产生干涉，在观察屏B上呈现干涉条纹.如果光源发出的是单色光，看到的是明暗相间的单色条纹;如果是白光照明，则得到彩色条纹.后来发现以狭缝代替针孔可得同样清晰的、但明亮得多的干涉图样.这样便有了以柱面波替代球面波的双缝实验，其截面图仍可用图4-2表示.。
假定是单色光源,S、S1和S2的宽度都非常窄，并且S1和S2正好放在S的波面一上.即有SS1=SS2，这样?01??02，S1和S2在P点引起的振动的振幅分别为A1和A2，因为D
?d, D?x，可以认为A1=A2，即I1=I2.由((4.1)式，可得到观察屏上P点的光强表达式:
I(P)?I1?I2?2I1I2cos?
简化为I(P)?4I1cos2??（4.4）
2又由(4.2)式，此时有??2π?(d1?d2)?2π???（4.5）
△=d2-d1是光程差.(4.4)式还可写成I?4Icos2π??（4.6）
1?(4.6)式就是双光束干涉场中的光强分布公式，在图4-2为屏上P点到屏中心O的距离。S1和S2到P点的距离可分别写成
ddd1?(x?)2?D2，d2?(x?)2?D2 22由上面两式得到d22?d12?2xd，从而有光程差??d2?d1?2xd
d2?d1在通常的干涉实验中，要求D?d，而且是在傍轴区域观察，即D?x，于是可以将上式中的d1+ d2近似用2D代替，得到??d2?d1?d?（4.7）
xD代人(4.6)式得到I?4Icos2(πdx)?（4.8）
1?D就是说，屏上光强沿x轴方向是余弦平方分布在图4-2的右边画出了该光强分布曲线. 1、 当P点的位置满足：△=mλ,即δ=2mπ,m=0,±1,±2,??（4.9） 时，光强有最大值Imax=4I1，光程差相同的各点形成一条亮线，叫做亮条纹.
2、 当P点的位置满足: △=（2m+1）（λ／2），即δ=（2m+1）π,m=0,±1,±2,??（4.10） 时，光强有最小值Imin=0，同一个m值的点形成一条暗线，叫做暗条纹. 显然亮暗条纹是相间的，它们一起组成了干涉图形。 2.2干涉条纹的形状和间距
干涉条纹是由光程差相同的各点组成，是一些等光程差线.考虑到空间的情况，则光程差相
同的各点组成一个面，叫做等光程差面，在观察屏上所见到的干涉条纹就是等光程差面与观察屏的交线.
利用解析几何，我们可证明，两相干点光源的等光程差面是一个回转双叶双曲面.因为，若空间一动点P到两定点S1、S2的距离只差为一常数，则此动点的轨迹是以S1和S2为焦点，S1和S2的连线为旋转轴的双叶双曲面.图4-3给出m=0，土1,土2,?时的等光程差面.在m=0时,等光程差面为x=0的平面，如果观察屏与xoy面平行，屏上的干涉条纹是一组双曲线.若屏离S1和S2足够远，我们又只考虑z轴附近的条纹(D
?x, y),则观察屏上的条纹是一系列平行于y轴的直线，这正是我们讨论的情况。如果观察屏与yoz面平行,
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则干涉条纹为一组同心园环.
以上实验采用点(或缝)光源，在两相干光束的重叠区处处郁能砚察到干涉 条纹，我们称这种干涉为非定域干涉。
为了表示条纹疏密，我们引人条纹间距和条纹空间频率的概念.条纹间距是指相邻两个极大值(或极小值)之间的距离，用△x表示，它也可称为条纹的周期.条纹的空间频率则是△x的倒数，即f = 1/△x，表示单位长度上的条纹数.由(4.9)式可知，第m级亮纹的相应光程为△m=mλ。它在屏上的位置用xm表示，由(4.7)式有x?Dm?.
md同理，第m+1级条纹有
xm?1?D，可知条纹间距为?x(m?1)?d?xm?1?xm?D?（4.11）。 ?d就是说，条纹间距与两光源到观察屏的距离、两光源间隔和光源波长有关.下面举例说明以上各量的实际大小.为了要看清楚干涉条纹，条纹间距△x不宜小于2mm，如果用λ= 550nm的绿光，观察屏位于D=2m处，则两光源之间的距离为D2?103d????5.5?10?4mm?0.55mm
?x2由此可见，双缝之间的距离必须是相当小的.若两缝之间的距离太大，或观察屏离光源太近，则干涉条纹太密，即使出现了条纹，眼睛也无法分辨。所以在通常的实验条件下，D均为米的量级，d约为10-1mm的量级，而△x则约为毫米的量级，这也就是我们前面的计算中取D
?d和D
?x的原因。
从（4.11）式还可看出、波长较短的光，条纹较密，例如蓝光的条纹比红光的密、所以用白光做实验时，屏上只有中央条纹(对应m=0)是白色的，其余各级亮条纹均带颜色，颜色的排列以零级亮条纹为中心左右对称、不同波长的光形成的同级干涉条纹出现在不同的位置上形成了光谱，这就是干涉分光现象.
在实验中我们很易测出D、d和x.根据(4.11)式，便能算出波长值.光波的波长很短、难以测量，而杨氏干涉实验装置将波长放大了D/d倍，转换成容易测量的△x了。
2．3 干涉条纹的可见度
为了描述干涉条纹的清晰程度，也就是描述干涉条纹的明暗对比度，迈克耳孙首先提出用可见度V来定量描述.在一般条件下，干涉条纹的亮暗分布是叠加在一均匀背景之上的，条纹的亮暗程度不仅与亮暗变化程度有关，也与背景大小有关.所以条纹的可见度定义为
V?Imax?Imin?（4.12）
Imax?Imin式中Imax和Imin分别是干涉场中光强分布的极大值和极小值.(4.12)式的分子部分反映了亮暗差别，分母则反映了平均光强.可见度也称为对比度、反衬度或调制度.
我们常用干涉条纹的清晰程度来衡量光波的相干程度.当Imin=0时，V=1，可见度有最大值，干涉条纹最清晰，称完全相干，两个振幅相同的理想单色点光源所产生的条纹就是这种情况;当Imax =Imin:时，V=0，光强分布均匀，完全观察不到干涉条纹，称完全不相干;当Imax=Imin时，0 考虑理想的单色点源，当两相干光束的振幅不相等时，干涉条纹光强的极大值和极小值分别为 Imax?(I1?I2)2,Imin?(I1?I2)2，代入(4.12)式，得到: VV?2A1A22(A1A2)?（4.13） ?22A12?A21?(A1A2)?2I1I2，或 I1?I2显然，当A=A（I=I）时，V=1;而A与A相差愈大，V值愈小 .这是容易理解的，因为若两相干光波的光强相差很大，则两相干光波叠加形成的光强分布与较大光强光波单独产生的光强分布没多大差别，干涉场的光强几乎呈均匀分布，观察不到干涉条纹.所以，要得到清晰的干涉条纹，两光波在相遇点所产生的振动的振福不能相差太大。 22若令I0?I1?I2?A，式(4.1)可写成I?I0(1?Vcos?)?（4.14） 1?A1这是双光束干涉场光强分布的另一标准表达式。 由(4.14)式可知，两束光波干涉时、干涉条纹的相对强度I∕I0，既与两波的振幅之比有关，这是通过条纹的可见度V[(4.13)式]表达出来的;又与两光波之间的相位差δ有关、尽管记录介质只对光强有反应，但干涉图样却包含着振幅和相位两者的信息、这启发我们，若要记录下某一束光波的相位信息，可采用另一光波与它干涉，记录下干涉图样便可.在第七章介绍的全息术，将不经过物体的参考光 - 3 - 和来自物体的物光进行干涉，由于参考光不包含物的信息只是作为干涉的一方起“参考”作用，所以在记录介质上记录了来自物光的振幅和相位信息，得到了全息图。 2.4 光源宽度对条纹可见度的影响 空间相干性 前面我们分析干涉条纹的性质时，都假设S是点光源.而实际光源有一定的大小，它可看成由无数位于不同地点的不相干的点光源组成，每个点光源分出的两相干光在接收屏上形成各自的干涉条纹，屏上的总光强是各套干涉条纹光强的非相干叠加.在杨氏实验中，若光源的宽度为b，如图4-4所示，不同位置的各点光源产生的干涉条纹存在相对位移，亮纹与暗纹重叠的结果，使条纹交的模糊，即可见度下降.这就是说，从S1和S2发出的光波的相干性变差。这种由光源的宽度引起干涉条纹可见度下降的情况，称为光波的空间相干性。 当光源的宽度b增大到某一定值时，使得干涉条纹的可见度为零，我们称这时的光源宽度为临界宽度，以bc表示.可以证明(略),bc满足以下关系b?R??(4.15) cd要得到清晰的干涉条纹，光源的许可宽度b必须小于bc.如果光源宽度b一定，d?R?则表示光场中距光源R处仍能相干的S1和S2 b之间的横向宽度(相干范围). 引人S1和S2对光源S中心的张角△θ=d/R，由(4.15)式可得出b?????(4.16) 式中△θ称为干涉孔径角.对一定宽度b的光源，只有在△θ范围内的S1和S2才有一定的相干性，而在△θ以外的S和都是不相干的.宽度b愈小，就愈大，空间相干性愈好.(4. 16)式称为空间相干性的反比公式.空间相干性可用干涉孔径角△θ或相干范围d量度.对于点光源，其宽度b≈0，△θ→∞，因此点光源波面上所发的光均可以相干. 2.5光源的非单色性对可见度的影响 时间相干性 任何光源发出的光都不可能是在时间上和空间上无限延续的单色波，原子每次发光的持续时间为τ，相应的波列长度为L.杨氏实验中，同一原子发出的两列光波经不同光程到达叠加点P( 图4-15).当光程差△=0时，两列波完全重合，条纹最清晰，称完全相干;当△≥L时，即一列波已通过P点，而另一列波才到达，二者完全不重合，不可能产生干涉，称完全不相干；当0<△ 在第二章§3例2. 5中，我们已分析了“波列长度有限”与“光波的非单色性”是 等价的概念，所以我们还可将上一段的叙述换一个说法.那就是，实际光源都包含有一定的光谱线宽△λ，不同波长的光各自形成一套干涉条纹，而且条纹的宽度随波长的增加而增加，各种波长的亮纹彼此错开，随着光程差的增大，同级亮纹错开愈大，总的干涉条纹的可见度愈低，以致为零.若入射光是λ到λ+△λ的非单色光，则当λ的m+1级极大与λ+△λ的m级极大重合时，总的干涉条纹可见度下降到零，此时的光程差△max称为最大光程差，它满足?max=（m+1）?=m(????) 此时干涉级数m??，因为△λ ????2?（4.17） λ，可得?max???2对比(2.42)式，显然该非单色光能产生干涉的最大光程差△即是波列的相干长度L: ??L???（4.17） max?? 由光波波列的有限长度(或非单色性)造成的干涉条纹可见度随光程差增加而下降的情况，称为光波的时间相干性.时间相干性的好坏是用相干长度L或相干时间τ来衡量的.单色性愈好(谱线宽度△λ愈小)，相干长度或相干时间就愈大，时间相干性就愈好.所以，(2.40)式：????1?（4.18） 也可称为时间相干性的反比公式. 严格的单色光的相干长度为无限长.原子光谱中的每条谱线并非严格单色.表4-1列出了几种原子光谱的谱线宽度及相干长度. 表4-1 准单色光源的谱线宽度及相干长度 元素 氪86Kr 镉Cd 汞Hg 氦-氖激光 波长/nm 605.78（红） 643.85（红） 546.1（绿） 632.8（红） 谱线长度△λ/nm 0.00047 ≈0.0013 ≈0.01 ≈10-8 相干长度L ≈77cm ≈30cm ≈2cm 几十公里 激光不仅具有良好的空间相干性，时间相干性也极好，如氦-氖激光器的相干长度可达数千米以上. - 4 -