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第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论
1、列出下列波函数在动量表象中的表示
（1）一维谐振子基态：??x,t??1?a3na?12?a2x2i???t22e
（2）氢原子基态：??r,t??eri?E2ta0?
2、求一维无限深位阱（0≤x≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
?x的矩阵表示。 3、求在动量表象中角动量L4、在（l2?x的可能值及相应几率。 ,lz）表象中，求l?1的空间中的Lp25、设H??V(r)，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则
2???En?Em?xnmn2?2 ?2?（提示：求
?H,X?,??H,X?,X?然后求矩阵元m??H,X?,X?m?）
26、若矩阵A，B，C满足A（1）证明：AB?BA?B2?C2?I,BC?CB?2iA
?AC?CA?0；
（2）在A表象中，求B和C矩阵表示。
p2x?V(x),分别写出x表象和Px表象中x,px及H的矩阵表示。 7、设H?2??200???8、在正交基矢?1,?2和?3展开的态空间中，某力学量A?a?001?求
?010??? 12
在态??
111?1??2??3中测量A的可能值，几率和平均值。
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第七章 自 旋
1、设?为常数，证明ei??z?cos??i?zsin?。
12、若????x?i?y,证明?2??0
2???3、在?z表象中，求??n的本征态，n?sin?con?,sin?sin?,cos??是(?,?)??方向的单位矢。
????????????4、证明恒等式：??A??B?A?B?i??A?B其中A,B都与?对易。
????????5、已知原子
1222(2s)0(2p)2c的电子填布为(1s)0j，试给出
（1）简并度；
（2）给出jj耦合的组态形式； （3）给出LS耦合的组态形式；
e?e?l?S，电子处于l2,j2,jz的本征态6、电子的磁矩算符???2?0?0ljmj?中，求磁矩?。
????ljmj?zljmj?mj?j
7、对于自旋为
1??S?的本征值和本征态，在具有较小的本征的体系，求Sxy2??的几率是多大？ 2?z值所相应的态中，测量s18、自旋为的体系，在t?0时处于本征值为?/2的Sx的本征态，将其置于
2B??0.0.B?的磁场中，求t时刻，测量Sx取?/2的几率。
9、某个自旋为1/2的体系，磁矩???0?,t?0时，处于均匀磁场B0中，B0 14
指向Z方向，t?0时，再加上一个旋转磁场B1(t)，其方向和Z轴垂直。 ??1?B1sin2?0te?2 B1(t)?B2cos2?0te其中?0??0B0/?c
?0时，体系处于sz??/2的本征态?1/2，求t?0时，体系的自旋波
已知t函数，以及自旋反向所需要的时间。
10、有三个全同粒子，可以处于
?1,?2,?3三个单粒子态上，当
n1?3;n1?n2?n3?1;n1?2,n2?1三种情形下的对称或反对称波函数
如何写？
11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，
求体系最低两上能级的能量和波函数。
V(x,y)?0??????0?x?L,0?y?Lx?L,y?L,x?0y?0
12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距离成正比的作用力，即位能为
V(x1,x2)?1122k(x1?x3)?a(x1?x2)2,22a,k?0
求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。
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