发布时间 : 星期五 文章学×思面授班 高一数学 春季尖子班 讲义 2014春季高一 第4讲 数列求和三大方法 教师版 目标班更新完毕开始阅读
bn?1，设数列{bn}的前n项和Sn，则S10? ． anan?1111an2?bn⑷若等式对于所有的正整数n都??L??1?2?32?3?4n?(n?1)?(n?2)4(n?1)(n?2)成立，则a?_____，b?_______．
3?4，4?5，L，n??n?1?，L，求该数列前n项和Sn． 【追问】已知数列1?2，2?3，【解析】 ⑴ 8；
⑵ Sn?a1?a2?L?an?10⑶
a?a?10d?2n．n?1
⑷a?1，b?3
【追问】Sn?
【例4】
已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x)?f(1?x)?n?n?1??n?2?3
1， 2?n?1??f??(n?N)的值； ?n??1??2??n?1?⑵ 若数列{an}满足an?f?0??f???f???L?f?求数列{an}的通项公式； ??f?1?，
nnn??????1⑶ 若数列{bn}满足anbn?,Sn?b1b2?b2b3?b3b4?L?bnbn?1，求Sn．
4
?1?1【解析】 ⑴ f???；
?2?4?1??n?1?1f???f???． nn????2n?1⑵ an?；
4⑶ Sn?b1b2?b2b3?b3b4?L?bnbn?1?
【备选】已知正项数列?an?中，a1?1，点 的前n项和Sn?2?bn．
⑴求数列?an?和?bn?的通项公式； ⑵设cn??1，求?cn?的前n项和Tn． an?1log2bn?1?1?⑴ 求f??和
?2??1?f????n?n．
2(n?2)?an，an?1（n?N*）在函数y?x2?1的图象上，数列?bn? ?【解析】 ⑴ an?n．
1bn?n?1．
2n⑵ Tn?．
n?1
【备选】设等差数列?an?的前n项和为Sn，等比数列?bn?的前n项和为Tn，已知bn?0（n?N*），
a1?b1?1，a2?b3?a3，S5?5?T3?b2?．
⑴ 求数列?an?、?bn?的通项公式； ⑵ 求和：
bb1b?2?L?n． TTT2T3TnTn?112【解析】 ⑴ an?4n?3，bn?2n?1．
⑵
bb1b1?1??2?L?n??1?n?1?
22?1TTTTTT??1223nn?1
考点3：错位相减法
知识点睛
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列?an?bn? 的前n项和，其中?an?、?bn?分别是等差数列和等比数列．
<教师备案>此种方法在等比数列初步中涉及过，教师在讲解过程中根据学生掌握情况适当调整，让学
生理解用错位相减法的数列通项的式子结构．这种方法有固定的套路和解题步骤，唯一需要留意的是运算过程中首项和尾项的系数和指数．
经典精讲
【铺垫】求数列n?2的前n项和．
?n?Sn?2??n?1?2n?1． 【解析】
1??求数列??2n?1??n?的前n项和．
2???1?2n?⑵求数列?n?1?的前n项和．
?3?2n?5【解析】 ⑴ Sn?5?n．
21?n⑵ Sn??3?n?1．
3
【例5】 ⑴
【例6】
2n?1设数列?an?满足a1?3a2?3a3?L?3an?n，n?N*． 3⑴ 求数列?an?的通项； ⑵ 设bn?n，求数列?bn?的前n项和Sn． an【解析】 ⑴ an?⑵ Sn?
【挑战4分钟】 求和：①1?答案：①6? 【例7】
1(n?N*) n33??2n?1??3n?14
352n?1253n?1?2?L?n?1；②?2?L?n 2223332n?377?6n；②． ?2n?144?3nS2n4n?2?，n?1，2，L， Snn?1a1?1，在等差数列?an?中，前n项和Sn满足条件（目标班专用）
⑴ 求数列?an?的通项公式；
⑵ 记bn?anpan(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn．
【解析】 ⑴ an?n
?n(n?1),p?1?2?⑵ Tn?? nn?1p(1?p)np??,p?12?(1?p)1?p?
32，42，L，n2，L，求该数列的前n项和Sn． 1．已知数列1，22，2【解析】 方法一：
从代数角度看，可以按如下形式对n2进行变形： ∵?n?1??n3??n?1??n?n?1??n2?3n2?3n?1，
32∴n?2?n?1?3?n3?3n?13 ?1?13n?1??n3??n? ??33?3n1?3?1所以，Sn????i?1??i3?i?? ①
3?i?1?3n?2?n?1?3?n3?3n?1??其中Sn?12?22?32?L?n2．
①式中的三次方项构成了一个可消去的数列，剩余部分是一个等差数列，这样问题就得以解
决了，因此对①式两边累加得：
n?n?1?n113Sn???n?1??13????n?n?1??2n?1?．
?3?236类似的方法适用于三次，四次或更高次方求和的情况． 方法二：
我们可以通过几何法来解决：
Sn?12?22?32?????n2相当于把如下三角形里所有的数加在一起．
123323n-1nn-1n
为了把三角形里所有的数加在一起，我们可以对图形进行如下操作：
1233233nnn-132nn-13321n-1nn-12323n-1nn-1n 1即把三角形旋转到如图所示的三个位置，然后把每个三角形的对应位置相加就可以得出这样一个三角形：
所以一共是
n?n?1?22n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+11个2n?1相加，就是n?n?1??2n?1?，再除以三就可以了．
21所以Sn?n?n?1??2n?1?．
6
33，43，L，n3，L，求该数列的前n项和Sn． 2．已知数列13，23，【解析】 ∵?n?1??n4???n?1??n2???n?1??n2??4n3?6n2?4n?1，
????422∴n?3?n?1?44?n4?6n2?4n?14 ?1?314n?1??n4??n2?n? ??244?4n31?4?1所以，Sn?????i?1??i4??i2?i?? ①
??24?i?1?4n?3?n?1??n4?6n2?4n?1其中Sn?13?23?33?L?n3．
①式中的四次方项构成了一个可消去的数列，一个平方数列求和，以及一个等差数列，这样