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《应用随机过程》读书笔记
早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年,Kolmogorov建立了概率论公理基础,这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间,随机分析学迅速发展成为一门新的学科,被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的,也是巨大的,其应用领域越来越广泛,紧密联系着数学的各个分支,也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富,随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。
在放假期间,我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程,鞅的初始概念是源于公平竞争的思想,也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲,在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值,离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述,而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握,可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。
一 定义1 随机过程?Xn,n?0?称为关于?Yn,n?0?的下鞅,如果对
?n?0,Xn时(Y0,?,Yn)的函数,EXn??,并且E(Xn?1|Y0,?,Yn)?Xn,这里
?如果对Xn?max?0,Xn?。我们称过程?Xn,n?0?为关于?Yn,n?0?的上鞅,?n?0,Xn是(Y0,?,Yn)的函数,EXn??,并且E(Xn?1|Y0,?,Yn)?Xn,这里
?Xn?max?0,?Xn?。若?Xn,n?0?兼为关于?Yn,n?0?的下鞅与上鞅,则称
之为关于?Yn,n?0?的鞅。
根据鞅的定义,我们可以直接推出以下命题:
(1) 适应列?Xn,Fn,n?0?是下鞅当且仅当??Xn,Fn,n?0?是上鞅。 (2) 如果?Xn,Fn?,?Yn,Fn?是两个下鞅,a,b是两个正常数,则
?aXn?bYn,Fn?是下鞅。
(3) 如果?Xn,Fn?,?Yn,Fn?是两个下鞅(或上鞅),则
。 ?max(Xn,Yn),Fn?或?min(Xn,Yn),Fn?是下鞅(上鞅)
下面以一个例子加以说明:考虑一个公平博弈的问题,设X1,X2?独立同分布,分布函数为P?Xi?1??P?Xi??1??,于是,可以将
Xi(i?1,2,?)看做一个投硬币的游戏的结果:如果出现正面就赢1元,
12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博,每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍,直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输(或赢)的总钱数,W0?0,无论如何,只要赢了就停止赌博,从而Wn从赢了之后起就不再变化,于是有P?Wn?1?1|Wn?1??1。假设前n次投出的硬币都出现了反面,按照规定,我们已经输了
1?2?4???2n?1?2n?1(元),即Wn??(2n?1),假如下一次硬币出现的
是正面,按规定Wn?1?2n?(2n?1)?1,由公平的前提知道
P?Wn?1?1|Wn??(2n?1)??11,P?Wn?1??2n?2n?1|Wn??(2n?1)??,易证22E(Wn?1|Fn)?Wn,这里Fn??(X1,?,Xn),从而?Wn?是关于?Fn?的鞅。
二 鞅的停时定理
1 (停时)设?Xn,n?0?是一随机变量序列,称随机函数T是关于?Xn,n?0?的停时,如果T在?0,1,2,?,??中取值,而且对每个n?0,
?T?n???(X0,X1,?,Xn)。
2 (鞅停时定理)设M0,M1,M2,?是一个关于?Fn??(X0,X1,?,Xn)?的鞅,T是停时且满足:
(1)P?T????1; (2)E(MT)??;
E(MnI?T?n?)?0; (3)limn??则有 EMT?EM0
1939 年法国概率学家 Lévy 第一次提出鞅,并作了理论的奠基工作。随着K.ito对brown运动的随机积分理论的发展,30年代末至50年代初,Levy和美国概率学家Doob就创立了鞅论,并且由Doob将其发扬光大.1953年,Doob在其名著Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成果,这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日益凸显.
Doob极大不等式
定理 设?Z0,Z1,?,Zn?是一个鞅,Mn?max?Z0,?,Zn?。 (1) 对???0,P?Mn????E(ZnI?M?1)?n???E(Zn)?;
(2) 如果E(Zn2)??,则对???0,
P?Mn????1?2E(ZI?Mn???)?2n2E(Zn)?2,
并且 E(Mn2)?4E(Zn2)
三 一致可积性
定义 1 假设有一列随机变量X1,X2,?,称它们是一直可积的,如果对???0,存在??0,使得对任意A,当P(A)??时,E(XnIA)??对
?n成立。
因为一致可积的条件比较难验证,下面给出两个一致可积的充分条件。
1 假设X1,X2,?是一列随机变量,并且存在常数C??,使得
2E(Xn)?C对所有的n成立,则此序列是一致可积的。
2 设?Mn?是关于?Fn?的鞅。如果存在一个非负随机变量Y,满足
E(Y)??,且Mn?Y,对?n成立,则?Mn?是一致可积鞅。
四 鞅收敛定理
定理 (鞅收敛定理)设M0,M1,?是关于X0,X1,?的鞅,并且存在常数C??使得E(Mn)?C对任意n成立,则当n??时,?Mn?收敛到一个随机变量M?
根据上面的定理,我们可以得出以下结论:如果?Mn?是关于
X0,X1,?的一致可积鞅,则limMn存在,记为M?,并且EM??EM0.
n??五 生活举例
1 设Xn是一个赌徒n 次抛掷公平硬币后的财产,如果硬币正面朝上,则赌徒赢得1美元,硬币反面朝上,则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产,且下一次试验后赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等,故这一随机过程是鞅。这个例子称为赌徒谬误。令Yn = Xn2 ? n ,其中Xn 是上例中赌徒的财产,则随机过