?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a??????????2????1?0.9
?2??2??2??a?所以????0.95
?2?a 查表可得, =1.65
2即 a = 3.3
17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05,0.062),规定X在范围(10.05
±0.12)厘米内为合格品,求螺栓不合格的概率.
概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第二章 第10页 (共57页)
解 由题意,设P为合格的概率,则
P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?12?2???0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544
则不合格的概率=1?P = 0.0456
18. 设随机变量X服从正态分布N(60,9),求分点x1,x2,使X分别落在(-∞,x1)、(x1,
x2)、(x2,+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题,
x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3333?4?5 ??x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得
?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99
x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P??)??0.5833 ???(3?33?4?5?3查表可得
x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63.
19. 已知测量误差X(米)服从正态分布N(7.5, 102),必须进行多少次测量才能使至少有一
次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98?
解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知
??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 1010??10??(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数,则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得:n≥4.784
取n=5, 即,需要进行5次测量.
20. 设随机变量X的分布列为 X -2 0 2 3
P
11 77
7
3
27
试求:(1)2X的分布列;(2)x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下
2X -4 0 4 6
p 1/7 1/7 3/7 2/7 (2) x2的分布列 X2 0 4 9
p 1/7 4/7 2/7
概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第二章 第11页 (共57页)
21. 设X服从N(0,1)分布,求Y=|X|的密度函数.
?x,x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为: 解 y=|x|的反函数为h(y)=??x?0?x, 当y>0时,f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时,fY(y)?0
?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?2?y1e2?2?22?e?y22
22. 若随机变量X的密度函数为
?3x2,f(x)???0,求Y=
0?x?1其他
1的分布函数和密度函数. x111 在(0,1)上严格单调,且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=?2xyy
解 y=
?1?1?1??1?3fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2??4
?y?y?y??y?y?3,y?14因此有 f(y)?? y?Y?0,other??y?4?3y3ydy??y?1?y?3,??Y的分布函数为:FY(y)??11?0,?
23. 设随机变量X的密度函数为
y?1other
2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0
x?0yy试求Y=lnX的密度函数.
解 由于y?lnx严格单调,其反函数为h(y)?e,且h'(y)?e, 则
fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(ey)ey2ey? 2y?(1?e)2?,???y????yy?(e?e)
概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第二章 第12页 (共57页)
24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布,求Y=e的分布密度. 解 由于y?ex严格单调,其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则
2x1yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)?1e?12?(lny??)221y
2??y当y?0时fY(y)?0
,y?01?(lny??)2?12e2?,?因此 fY(y)??2??y??0,y?0y?0
?2x25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明:Y=1?e在区间(0, 1)上服从均匀
分布. 解
1h(y)??2由于y?1?e?2x在(0, +∞)上单调增函数,其反函数为:
ln?(1y)?,y0?
1,并且h'(y)?1,则当0?y?1
2(1?y)fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|11?fX(?ln(1?y))
22(1?y)1?12(1?y)当y≤0或y≥1时,fY(y)=0.
?2e因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.
26. 把一枚硬币连掷三次,以X表示在三次中正面出现的次数,Y表示三次中出现正面的
次数与出现反面的次数之差的绝对值,试求(X,Y)的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有:3次正面,2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为
1?2(?ln(1?y))2132?1??1?P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C3 ?????8?2??2?82?1??1?P(X=1, Y=1)= C?????2??2?133?13? P(X=0, Y=3)= 8?1?1??? ?2?83于是,(X,Y)的联合分布表如下: X 0 1 2 3 Y 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8
27. 在10件产品中有2件一级品,7件二级品和1件次品,从10件产品中无放回抽取3
件,用X表示其中一级品件数,Y表示其中二级品件数,求: (1)X与Y的联合概率分布;