发布时间 : 星期日 文章2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修1更新完毕开始阅读
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。2.2.2 椭圆的几何性质
[基础达标]
1．椭圆x＋my＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
y2x2?1?1212
解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1?>1?，故a＝，b＝1，所以a＝，b11mm?m?
2
2
m＝1,2
1
＝4，解得，m＝，符合题意． m41答案： 4
2．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0 ，则长轴的最大值是________． 2 1 c2a2－b2a2－1 解析：由e＝2＝2＝2， aaa2 a－13得0<2≤， a42 解得1 故1 2 答案：4 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 222 解析：由题意知2b＝a＋c，又b＝a－c， 2222 ∴4(a－c)＝a＋c＋2ac. 22 ∴3a－2ac－5c＝0， 22 ∴5c＋2ac－3a＝0. 2 ∴5e＋2e－3＝0， 3 ∴e＝或e＝－1(舍去)． 53答案： 5 →→ 4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 解析：结合图形(图略)，转化为c 2?? 答案：?0，? 2?? x2y2 5．设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°， ab∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________． 解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理， PF1PF2F1F2 得＝＝＝2c， sin 15°sin 75°sin 90° PF1＋PF2 ∴＝2c. sin 15°＋sin 75° 由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a. 1 大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。代入上式，有e＝＝答案： 6 3 c16 ＝. asin 75°＋sin 15°3 x2y2 6．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相 ab切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心 率的取值范围是________． b2Acπ 解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos＝>cos， a2r4 2c2ac2e5－1??6－2即<<1，所以<22<1，即<，?. 2<1，解得e∈?2r2a－c21－e2??2 答案：? 5－1??6－2 ，? 2??2 7．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两 2π 个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程． 3 π3 解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1 32的周长为2a＋2c＝2a＋3a＝4＋23，∴a＝2，c＝3，∴b＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y＝1. 4 8．已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 4 (1)求椭圆C2的方程； (2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， →→ OB＝2OA，求直线AB的方程． 2 x2 2 x2 2 y2x2 解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a>2)， a4 3a2－43 其离心率为，故＝，则a＝4， 2a2 y2x2 故椭圆C2的方程为＋＝1. 16 4 →→ (2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. 将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x＝4， 442 所以xA＝2， 1＋4k将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k)x＝16， 164162 所以xB＝2， 4＋k1616→→22 又由OB＝2OA，得xB＝4xA，即2＝2， 4＋k1＋4k解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. [能力提升] x2 222 y2x2 22 2 大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。1．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原 54 点，则△OAB的面积为________． 解析：椭圆 x2y2 x2 5 ＋ y2 4 ＝1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由 xy??＋＝1?54??y＝x－ 22 ，消去y，整理得3x－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1 2 5?54? 2 则x1，x2是方程3x－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B?，?， 3?33? 4?1?5 故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝×?|－2|＋?×1＝. 3?2?3 5答案： 3 x2y23a2．设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△ ab2 F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________． 解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°. ?3?∴PF2＝2×?a－c?＝3a－2c. ?2? ∵F1F2＝2c，F1F2＝PF2， c3 ∴3a－2c＝2c，∴e＝＝. a4 3答案： 43．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的 94 横坐标的取值范围． 解：设点P的坐标为(x，y)，F1(－5，0)，F2(5，0)， 在三角形PF1F2中， 由余弦定理得： 222PF1＋PF2－F1F2 cos ∠F1PF2＝， 2PF1·PF2 因为PF1＋PF2＝6，F1F2＝25， 36－2PF1·PF2－2016161 故cos ∠F1PF2＝＝－1≥－1＝－， 2PF1·PF22PF1·PF29?PF1＋PF2?2 2???2? 当且仅当PF1＝PF2时取等号，即 1 －≤cos ∠F1PF2≤1. 9 1 所以当－≤cos ∠F1PF2<0时，∠F1PF2为钝角． 9→→→ 令PF1·PF2＝0，因为PF1＝(－5－x，－y)， → PF2＝(5－x，－y)，则x2－5＋y2＝0， y2＝－x2＋5，代入椭圆方程得： x2y2 3 大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。x2＝，x＝± 9535 ， 5 3535 所以点P的横坐标的取值范围是－ 55 x2y2 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－ abc,0)、F2(c,0)．已知点(1，e)和?e， ??3? ?都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2? (1)求椭圆的方程； (2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P. 6 (ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率； 2 (ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值． 解：(1)由题设知a＝b＋c，e＝. 2 2 2 ca2 (2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0. c2 由点(1，e)在椭圆上，得2＋22＝1， aab222 解得b＝1，于是c＝a－1. e233?? 又点?e，?在椭圆上，所以2＋2＝1， a4b2?? 2 a－132 即4＋＝1，解得a＝2. a4 x22 因此，所求椭圆的方程是＋y＝1. 1 x1??＋y21＝1，由?2??x1＋1＝my1， 2 2 得(m＋2)y1－2my1－1＝0， 22 m＋2m2＋2解得y1＝， m2＋2 故AF1＝ x1＋ 2 ＋y1－ 2 ＝my1 2 ＋y＝21 2 m2＋＋mm2＋1 .① m2＋2 m2＋－mm2＋1 同理，BF2＝.② m2＋2 2 2mm＋1 (ⅰ)由①②得AF1－BF2＝2， m＋2 4