发布时间 : 星期日 文章2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)更新完毕开始阅读
670 0 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k） k 3.841 6.635 10.828 0.0 0.010 0.001
【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助， ∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为
．
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
∵9.967＞6.635，
∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
17
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
20．（12分）（2010?宁夏）设F1，F2分别是椭圆
的左、
右焦点，过F1斜率为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．
【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据
，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．
（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据
求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．
【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得
，l的方程为y=x+c，其中
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0 则
因为直线AB斜率为1，|AB|=
|x1﹣x2|=
，
18
得
，故a2=2b2
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1， 即
，．
得c=3，从而故椭圆E的方程为
．
21．（12分）（2010?宁夏）设函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2． （1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据ex≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即
时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ex﹣1﹣x，f′（x）=ex﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加 （II）f′（x）=ex﹣1﹣2ax
由（I）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x， 从而当1﹣2a≥0，即
时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
19
从而当
时，f′（x）＜ex﹣1+2a（ex﹣1）=ex（ex﹣1）（ex﹣2a），
﹣
﹣
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为
22．（10分）（2010?新课标）如图：已知圆上的弧BA的延长线交于E点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD． （Ⅱ）BC2=BE?CD．
，过C点的圆的切线与
．
【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切
线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论． （II）欲证BC2=BE x CD．即证【解答】解：（Ⅰ）因为所以∠BCD=∠ABC． 又因为EC与圆相切于点C， 故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD， 所以△BDC～△ECB， 故
．
，
．故只须证明△BDC～△ECB即可．
即BC2=BE×CD．（10分）
23．（10分）（2010?新课标）已知直线C1
（t为参数），C2
20