发布时间 : 星期三 文章2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)更新完毕开始阅读
【分析】要求∫f(x)dx的近似值,利用几何概型求概率,结合点数比即可得.
【解答】解:由题意可知故积分故答案为:
.
的近似值为
.
得,
14.(5分)(2010?宁夏)正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分) (写出三种)
【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形;圆锥;四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形,即可回答本题.
【解答】解:正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱(放倒的情形)、圆锥、四棱锥等等.
故答案为:三棱锥、圆锥、三棱柱.
15.(5分)(2010?宁夏)过点A(4,1)的圆C与直线x﹣y=1相切于点B(2,1),则圆C的方程为 (x﹣3)2+y2=2 .
【分析】设圆的标准方程,再用过点A(4,1),过B,两点坐标适合方程,圆和直线相切,圆心到直线的距离等于半径,求得圆的方程. 【解答】解:设圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2, 则解得
,故所求圆的方程为(x﹣3)2+y2=2.
,
故答案为:(x﹣3)2+y2=2.
16.(5分)(2010?宁夏)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为
,则∠BAC= 60° .
【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC,进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC,进而根据余弦定理求得AB.最后在三角形ABC中利
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用余弦定理求得cos∠BAC,求得∠BAC的值. 【解答】解:由△ADC的面积为
可得
解得,则.
,
AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos120°=
,
则
故∠BAC=60°.
=.
三、解答题(共8小题,满分90分)
17.(12分)(2010?宁夏)设数列满足a1=2,an+1﹣an=3?22n﹣1 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
【分析】(Ⅰ)由题意得an+1=[(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)]+a1=3(22n
﹣1
+22n﹣3+…+2)+2=22(n+1)﹣1.由此可知数列{an}的通项公式为an=22n﹣1.
(Ⅱ)由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1,由此入手可知答案. 【解答】解:(Ⅰ)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)]+a1
=3(22n﹣1+22n﹣3+…+2)+2=3×
+2=22(n+1)﹣1.
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而a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=22n﹣1.
(Ⅱ)由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1②
①﹣②得(1﹣22)?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1. 即
18.(12分)(2010?宁夏)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点 (1)证明:PE⊥BC
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
.
【分析】以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系. (1)表示
,
,计算
,就证明PE⊥BC.
(2)∠APB=∠ADB=60°,求出C,P的坐标,再求平面PEH的法向量, 求向量
,然后求
与面PEH的法向量的数量积,可求直线PA与平面PEH所成
角的正弦值.
【解答】解:以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,
建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0) (Ⅰ)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0) 则可得
.
.
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因为
所以PE⊥BC.
(Ⅱ)由已知条件可得m=,n=1,故C(﹣
),
设=(x,y,z)为平面PEH的法向量 则因此可以取由可得
,
即
,
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
19.(12分)(2010?新课标)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如表: 性别 是否需要志愿 需要 4 3男 女 0 0 不需要 1
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