发布时间 : 星期六 文章浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案更新完毕开始阅读
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)
x2y21.“a =2, b?2”是“曲线C:2?2?1(a,b?R,ab?0)经过点
ab( A ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A.
?2,1”的
?x2y2解答:当a =2, b?2曲线C:2?2?1经过
ab?x2y22,1;当曲线C:2?2?1经过点
ab??2,1时,即有
?21?2?1,显然a??2,b??2也满足上式。所以“a =2, b?2”2abx2y2是“曲线C:2?2?1经过点
ab?2,1”的充分不必要条件。
?2.已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为m,m?1,m?2,则实数m的取值范围为( B ).
A. m?1 B. 1?m?答案:B.
解答:由题意可知:
33 C.?m?3 D.m?3 22D1A1B1MCBC1?m?(m?1)?m?231?m?解得。 ?2222?(m?2)?m?(m?1)?m(m?1)
3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ).
DA第3题图
3361 B. C. D.
2633答案:C.
A. 解答:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
1D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)2,且平面
ACD1的法向量为
uruururuur3,即二面角n1?(1,1,1),平面MCD1法向量为n2?(?1,2,2)。因此cos?n1,n2??3M-CD1-A的余弦值为3。 3?a?b?2?0a?2b?4.若实数a,b满足?b?a?1?0,则的最大值为 ( C ).
2a?b?a?1?A. 1 B. 答案:C.
解答:由a,b满足的条件知1?57 C. D. 2 45a?2b37b13?2??,当(a,b)?(,)取等?3,所以
b52a?ba222?a号。
5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则
S?PQRS?ABC的最小值为( D ).
1111 B. C. D. 2453参考答案:D.
解答:如图5-1所示,
A.
A A P H R P B Q C R Q B C 图5-1 图5-2
(1)当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上,则P,C,Q,R四点共圆,
?APR??CQR?180o??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBRo?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故sinAsinAPRsinBsinBQRAR?BR即R为AB的中点.
S?PQR1过R作RH?AC于H,则PR?RH?BC,所以
S?ABC2此时
1(BC)2PR12,???BC2BC242S?PQRS?ABC的最大值为
1. 4(2)当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上,如图5-2所示,设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???在Rt?CPR中,PR??2),则?CPR?90o??PRC??BRQ??.
CRx?, sin?sin?x3,?RQB????QRB??B????, sin?4xPQRB1?x由正弦定理, ??sin???
?3sinBsin?PQBsinsin(???)4411x211x1,因此S?PQR?PR2?()?()2. ?22sin?2cos??2sin?sin?cos??2sin?在?BRQ中,BR?1?x,RQ?PR?这样,S?PQRS?ABC?(111,当且仅当??arctan2取)2??222cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5的最小值为.
等号,此时
S?PQRS?ABC156. 已知数列?an?的通项an?nx ,n?N*,若
(x?1)(2x?1)L(nx?1)a1?a2?L?a2015?1,则实数x等于( D ).
A.?59113 B.? C.? D.?
1240602答案:D.
an?
(nx?1)?111??(x?1)(2x?1)L(nx?1)(x?1)(2x?1)L[(n?1)x?1](x?1)(2x?1)L(nx?1)2015则
?ak?1?k?11?1?(x?1)(2x?1)L(2015x?1)?0,所以
(x?1)(2x?1)L(2015x?1)11111111x?(?1,?)?(?,?)?L?(?,?)?(?,??),经检验只有x??23420132014201560符合题意。
7. 若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于 ( C ). ...
163619626 B. C. D. 175535答案:C.
A.
解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a,面积为S,过P的直线的倾斜角为?(0???当过点
?2)。
P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时,
PQsin??a?RScos??sin??4cos??sin??S?(PQsin?)2?16。 174,此时正方形的面积17同理,当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时,S?方形的对边所在的直线时,S?36;当过点P,S的直线为正5196. 5320158.若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)?L?(m?n)?10中的元素个数为( B ).
22
A.4030 B.4032 C. 2015 D. 2016 答案:B.
解答:由已知得n(n?2m?1)?220162015?,m?Z,n?N*?,则集合A5,因为n,n?2m?1一奇一偶,所以n,n?2m?1两
者之一为偶数,即为22016,220165,2201652,L,2201652015共有2016种情况,交换顺序又得到2016种情形,所以集合A共有4032个元素.
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)
9.已知函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)?0,f(x?2)?f(2?x)?0,且f()?1,则
231000f()? .
3答案:?1.
解答:f(x?2)?f(2?x)?f[1?(x?1)]??f[1?(x?1)??f(x)?f(x?4)?f(x),所以
100044112f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1.
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