发布时间 : 星期一 文章高考数学总复习教案：任意角和弧度制及任意角的三角函数更新完毕开始阅读
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
(对应学生用书(文)、(理)40～41页)页
考情分析 ① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. ② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． 考点新知 ① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号.
1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cosα＝________． 5
答案：－5
3. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4
4. 已知角α终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sinα＝________． 3
答案：－5
5
5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－13，则sinθ＝____________，tanθ＝____________． 1212
答案：－13 5 解析：cosθ＝
55
＝－13，解得x＝2.sinθ＝x2＋36－x
－61212
＝－13，tanθ＝5.
2
?－5?＋（－6）22
?
?
1. 任意角
(1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3) 弧度制
① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
l
② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝r，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l＝|α|r．
11
扇形面积公式：S扇形＝2lr＝2|α|r2． 2. 任意角的三角函数
(1) 任意角的三角函数定义
yxy
设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． 3. 三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 [备课札记]
题型1 三角函数的定义
2
例1 α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝4x，求sinα的值．
x
解：∵ OP＝x2＋5，∴ cosα＝＝
x2＋52
4x.又α是第二象限角，∴ x<0，得x＝－3， ∴ sinα＝变式训练
2
已知角α终边上一点P(－3，y)，且sinα＝4y，求cosα和tanα的值． y
解：r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝r＝2＝4y， y2＋3y
510＝4. x2＋5
x615
∴ y＝±5或y＝0.当y＝5即α是第二象限角时，cosα＝r＝－4，tanα＝－3；当y＝－5即α是第三象限角时，
x615
cosα＝r＝－4，tanα＝3；当y＝0时，P(－3，0)，
cosα＝－1，tanα＝0.
题型2 三角函数值的符号及判定
例2 (1) 如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限； (2) 若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号． 解：(1) 因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限， 所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，
??sinθ>0，即?所以θ为第二象限角． ?cosθ<0，?
π
(2) ∵ 2kπ＋2<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴ －1 ∴ sin(cosθ)<0.∴ sin(cosθ)的符号是负号． 备选变式（教师专享） 已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 答案：四 解析：由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限． 题型3 弧长公式与扇形面积公式 例3 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1) 若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1) 设弧长为l，弓形面积为S弓． π10 ∵ α＝60°＝3，R＝10，∴ l＝3π(cm)． 11013??π S弓＝S扇－S△＝2×3π×10－2×102·sin60°＝50?－? cm2. ?32? C11?C?2 (2) ∵ 扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴ R＝，∴ S扇＝2α·R2＝2α2＋α＝ 2＋α??C2αC2 ·＝24＋4α＋α22·C2最大值16. 备选变式（教师专享） 已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长． C24≤，当且仅当α＝416α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有 4＋α＋α 1 ︵ 解：如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，1AC12 且AC＝2AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝sin∠AOC＝sin1，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝sin1. 8πα 1. 若α角与5角终边相同，则在[0，2π]内终边与4角终边相同的角是________． 2π9π7π19π答案：5，10，5，10 8πα2πkπα 解析：由题意，得α＝5＋2kπ(k∈Z)，4＝5＋2(k∈Z)．又4∈[0，2π]，所以k＝0，1，α2π9π7π19π2，3，4＝5，10，5，10. 2π??2π 2. 已知角α(0≤α≤2π)的终边过点Psin3，cos3，则α＝__________． ??11π 答案：6 解析：将点P的坐标化简得?11π α≤2π，所以α＝6. 3. 已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________cm2. 答案：4 x31??3 ，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝r＝2.又0≤?，－2??2