发布时间 : 星期四 文章2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)更新完毕开始阅读
(2)若?ABC??ACB时，如答案图2所示.同理可得AM?2.综上所述，AM?2. 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，
CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 【答案】126.
【解析】设?OCD??,?ADO??,
oQCA平分?BCD,??OCD??OCB??,
QBC∥AD,??ADO??OBC??,?DAO??OCB??, (第2题答案图) ??OCD??DAO??,?AD?CD,QCD?AO,?AD?AO,
??ADO??AOD??BOC??OBC??,?OC?BC, QBC?OD,?OC?OD,??ODC??OCD??
Q?BOC??ODC??OCD,?BOC??OBC??OCB?180o
ooo ???2?,??2??180,解得??36,??72，??DBC??BCD?72,
o180o???54o, ?BD?CD?AD,??ABD??BAD?2故?ABC??ABD??DBC?126.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.
【解析】设两个三位数分别为x,y，则1000x?y?3xy，①
，?y?3xy?1000x?(3y?1000)x,故y是x的正整数倍，不妨设y?tx（t为正整数）代入①得1000?t?3tx,?x?o1000?t1000?t,Qx是三位数，?x??100，解得 3t3tt?1000,Qt为正整数，?t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有t?2符合，此时 299x?167,y?334. 故所求的六位数为167334.
3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 【答案】1007.
2?4? 【解析】由3q?p?4?0得，p?3q?4,?pq?q(3q?4)?3q2?4q?3?q???,
3?3?2
因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值.
又p?q?111，?3q?4?q?111,?q?283，因q为质数，故q的可能取值为 423,19,17,13,11,7,5,3,2，但q?23时，p?3q?4?65?5?13不是质数，舍去.
当q?19时,p?3q?4?53恰为质数.故qmax?19,(pq)max?53?19?1007.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 . 【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则M?5；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2M?5?1?5?3?20,故M?10;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 3M?5?1?5?2?5?3?30,故M?10;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，M?10.
另一方面，如下表的例子说明M可以取到10.故M的最大值为10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 3 2 3 4 4 5 5
3 第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值.
【解析】解：因a,b为正整数，要使得M?3a?ab?2b?4的值为正整数，则有
2222a?2.
当a?2时，b只能为1，此时M?4.故M能取到的最小正整数值不超过4.
当a?3时，b只能为1或2.若b?1,M?18;若b?2，则M?7.
当a?4时，b只能为1或2或3.若b?1,M?38;若b?2,M?24;若b?3,则M?2. (下面考虑：M?3a?ab?2b?4的值能否为1？)
22
（反证法）假设M?1，则3a?ab?2b?4?1，即3a?ab?2b?5，
2222a(3a?b2)?2b?5 ①
因b为正整数，故2b?5为奇数，从而a为奇数，b为偶数， 不妨设a?2m?1,b?2n，其中m,n均为正整数，则
2222?a(3a?b2)?(2m?1)?3(2m?1)?(2n)?4(3m?3m?2mn?n)?3 ??即a(3a?b)被4除所得余数为3，而2b?5?2(2n)?1?4n?1被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故M?1.因此，M能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点C在以AB为直径的eO上，CD?AB于点D,点E在BD上，
2AE?AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与eO交于点N.证明:FN?DE.
(第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC、BN.QAB为eO的直径，CD?AB于点D
??ACB??ANB??ADC?90o
Q?CAB??DAC,?ACB??ADC,??ACB∽?ADC,
?ACAB?,?AC2?AD?AB ADAC由四边形DEFM是正方形及CD?AB于点D可知: 点M在CD上，DE?DM?EF?MF
Q?NAB??DAM,?ANB??ADM,??ANB∽?ADM,
?ANAB?,?AD?AB?AM?AN,?AC2?AM?AN, ADAMQAE?AC,?AE2?AM?AN
以点F为圆心、FE为半径作eF,与直线AM交于另一点P,则eF与AB切于点E,即AE是eF的切线，直线AMP是eF的割线，故由切割线定理得AE?AM?AP
2
?AN?AP,即点N与点P重合，点N在eF上，?FN?FE?DE.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
333(B).已知：a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47.
222求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值. 【解析】由已知得ab?bc?ca?33322222212222?(a?b?c)?(a?b?c)???5 2?222 由恒等式a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)得，
47?3abc?5?(15?5),?abc??1
又a?ab?b?(a?b?c)(a?b)?(ab?bc?ca)?5(5?c)?5?5(c?1) 同理可得b?bc?c?5(4?a),c?ca?a?5(4?b)
∴原式=5(4?a)(4?b)(4?c)?125?64?16(a?b?c)?4(ab?bc?ca)?abc?
3222222?125?[64?16?5?4?5?(?1)]?625.
【注：恒等式(t?a)(t?b)(t?c)?t?(a?b?c)t?(ab?bc?ca)t?abc】 三、（本题满分25分）
(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且
32(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .
xyyzzx(3) 求
111??的值. xyyzzx(4) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).
(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4， 【解析】（1）解：由等式
xyyzzx去分母得z(x?1)(y?1)?x(y?1((z?1)?y(z?1)(x?1)?4xyz，
222222x2y2z?xy2z2?x2yz2??x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)?3xyz????(x?y?z)?xyz?0,
222222xyz(xy?yz?zx)?(x?y?z)(xy?yz?zx)?(x?y?z)?xyz?0，
?[xyz?(x?y?z)](xy?yz?zx?1)?0，Qxy?yz?zx?1,?xy?yz?zx?1?0，