发布时间 : 星期日 文章华南理工大学高等数学统考试卷上2001D更新完毕开始阅读
华南理工大学高等数学
（试卷号：2001-D 时间：150分钟 总分100）
院（系）： 专业班： 姓名： 成绩报告表序号：
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 单项选择题（本题18分，每小题3分）每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填写在题后的括号内。 1、下列函数中是奇函数的为（A）
2?2x?1?x?x,当x?0(A) f(x)?? (B) f(x)?1?x 22?1??x?x,当0?0(C) f(x)?arccosx (D) f(x)?xsinxecosx 2、x?0是函数f(x)?21?ex1?sinx的（B）间断点 x(A) 跳跃 (B) 可去 (C) 无穷 (D) 振荡
?ex?1,当x?03、f(x)??，则f(x)在x?0处（D）
?2x,当0?0(A) limf(x)不存在 (B) limf(x)存在，但在x?0处不连续
x?0x?0(C) f?(0)存在 (D) f(x)在x?0处连续，但不可导 4、设f?(lnx)?1?x,(x?0)，则f(x)?（C）
11(A) lnx?(lnx)2?C (B) x?x2?C
221(C) x?ex?C (D) e2x?ex?C
25、设?(x)??sinx0sin2tdt,?(x)??ln(1?t)dt，则当x?0时，?(x)与?(x)相比较，
02x?(x)是?(x)的（B）
(A) 等价无穷小 (B) 同阶但不等价无穷小
(C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
6、若f(x)?ax3?6ax2?b在[?1,2]上的最大值为3，最小值为-29，且a?0，则
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应有 （A）
(A) a?2,b?3; (B) a?1,b?3; (C) a?2,b??29 (D) a?3,b?2.
二、填空题（本题18分，每小题3分）
f(b)?f(a)?a3 1．设f?(a)?a2，且b?a?0，则limb?alnb?lna32x3?3222．曲线y?ln的拐点是(2e,e)
x2223．曲线y?xex?1的铅直渐近线方程是x?0
24．??(3x?sin2x)cos2xdx???2? 85．函数f(x)??(2?t)e?tdt,f(2)?1?e?2
0x26．???11dxln2 ?2x(1?x)2
三、解答下列各题（本题36分，每小题6分）
11) 1．求极限lim(2?x?0xxtanx11tanx?xsec2x?1tan2x1lim(2?)?lim?lim?lim? 322x?0xx?0x?0x?0xtanx3x3x3x?ex?b,x?02．设f(x)??，试确定a,b之值，使f(x)在x?0处连续可导，
?sin(ax),x?0并求f?(0)
?f(?0)?1?b?f(0)要f(x)在x?0处连续，b??1，??
?f(?0)?0sin(ax)ex?1?a ?1，f??(0)?lim而f??(0)?limx?0?x?0?xx所以，要f(x)在x?0处可导，a?1且f?(0)?1
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2?dy?x?3t?2t?33．方程?y确定y是x的函数，求的值
dxt?0??esint?y?1?0dx?(6t?2)|t?0?2 dtt?0ey?yt?sint?eycost?yt??0，
dye? dxt?02dy?e,?y(0)?1 dtt?0于是
4．求?xxexe?1xdx xexex?1xexex?1令e?1?t，则?dx?2?ln(1?t2)dt?2tln(1?t2)?4t?4arctant?c dx?(2x?4)ex?1?4arctanex?1?c
???1,x?0?2?1?x5．设f(x)??，求?f(x?1)dx
0?1,x?0??1?ex令x?1?t，?201dxdtf(x?1)dx??f(t)dt????
?1?11?et01?x101?[t?ln(1?et)]|0?[ln(1?x)]1?e) ?10?ln(36．计算?dxx211?x2
?令x?tant，则?
3dxx21cost1???32dt??sintt4sin1?x2?3?2?23
?41上求点M，使过该点的切线被两坐标轴所截得的x2长度最短。并求这最短的长度。
112设M(t,2)为所求，显然t?0，切线y?2??3(x?t)
ttt四、（本题9分）在曲线y?共5页第3页
3t3两截距分别为3t与32。l?()2?(2)2
2t2tt21求目标函数f(t)??2在(0,??)内的最值
4t令f?(t)?t4??0，得(0,??)内的唯一驻点l?2，且f??(2)?0， 2t5t?2 是极小值点，由实际问题可知，t?2是最小值点。
133有偶函数的对称性，故点M(?2,)为所求，最短长度l?
22
五、（本题9分）从原点到抛物线y?x2?x?1引两条切线，求这两切线与抛物线所谓称图形的面积。 切点A(1,3),B(?1,1)
s?s1?s2??[x?x?1?(?x)]dx??(x2?x?1?3x)dx??100212 3 六、（本题10分，每小题5分）
1．设f(x)在[a,b]上连续，?(x)在[a,b]上可积，且?(x)?0 证明：在[a,b]上必存在点?，使得?f(x)?(x)dx?f(?)??(x)dx
aabbf(x)在[a,b]上连续，存在最大值M，最小值m
即m?f(x)?M，而?(x)?0，于是m?(x)?f(x)?(x)?M?(x) 从而m??(x)dx??f(x)?(x)dx?M??(x)dx且??(x)dx?0
aaabbbba有m??abf(x)?(x)dx??(x)dxab?M
根据闭区间连续函数介值定理：在[a,b]上必存在?，
?使f(?)?
baf(x)?(x)dx?ba?(x)dx，即?f(x)?(x)dx?f(?)??(x)dx
aabb共5页第4页
2．设f(x)是定义在[a,b]上的单调增函数，x0?(a,b)且limf(x)存在。
x?x0试证：f(x)在点x0处连续 设limf(x)?A（A为常数）
x?x0当x?x0时，f(x)?f(x0)，于是A?f(x0?0)?limf(x)?f(x0)
x?x0?当x?x0时，f(x)?f(x0)，于是A?f(x0?0)?limf(x)?f(x0)
故A?f(x0)?limx?xf(x)
0即f(x)在点x0处连续
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