发布时间 : 星期日 文章(广东专版)2019高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 专题强化练十四 圆锥曲线中的热点问题 文更新完毕开始阅读
规划很好卡卡看法专题强化练十四 圆锥曲线中的热点问题
一、选择题
1．若双曲线－＝1(0＜λ＜1)的离心率e∈(1，2)，则实数λ的取值范围为
λ1－λ( )
x2y2
?1?A.?，1?
?2?
C．(1，4)
B．(1，2)
?1?D.?，1? ?4?
1
1
＜2，得＜λ＜1.
4λ
解析：易知c＝1，a＝λ，且e∈(1，2)，所以1＜答案：D
x2y2
2．(2018·河南信阳二模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3,
ab3)，则双曲线的离心率为( ) A.23
323
或2 3
B．2
C.D.3或2
b3b21c2－a21
解析：由题意可得＝，即2＝，得2＝，
a3a3a3
124232
则e－1＝，e＝，解得e＝(舍负)．
333答案：A
x2y2
3．(2018·北京东城区调研)已知圆M：(x－2)＋y＝1经过椭圆C：＋＝1的一个焦
m3
2
2
点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A．210－5 C．410－11
B．210－4 D．410－10
解析：易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，所以m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝12.
当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去．所以m＝4. （x－2）＋y＝1，??22
2
联立?xy得x－16x＋24＝0.
＋＝1，??43
1
2
2
规划很好卡卡看法因为x≤2，所以x＝8－210.故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－210)＝210－5.
答案：A
x2y22
4．(2018·山东德州一模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y＝
ab16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 420C.－＝1 412
x2x2
y2y2
B.D.
－＝1 124－＝1 204
x2x2
y2y2
x2y2b解析：双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
aba由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得＝3，①
双曲线的一个焦点(－c，0)在抛物线y＝16x的准线x＝－4上， 可得c＝4，即有a＋b＝16，② 由①②解得a＝2，b＝23， 则双曲线的方程为－＝1.
412答案：C 二、填空题
2
2
2
bax2y2
x2y2
5．(2018·山西太原一模)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，
ab与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．
x2y2
解析：由过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右
ab支交于两点，可得＜2，
bac所以e＝＝
aa2＋b2＜1＋4＝5， a2
因为e＞1，所以1＜e＜5，
所以此双曲线离心率的取值范围为(1，5)． 答案：(1，5)
6．(2018·济南模拟)已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过
2
A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，(y2＜0)．
2
规划很好卡卡看法
则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.
4又y1y2＝－p＝－4.
4
所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．
4y2
2
y22
y22
x24x3＋8
设g(x)＝－，g′(x)＝2，
4x2x令g′(x)＜0，得x＜－2，令g′(x)＞0得－2＜x＜0.所以g(x)在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增．
所以当x＝－2，即y2＝－2时，|AC|＋|BD|取最小值为3. 答案：3 三、解答题
7．已知动圆M恒过点(0，1)，且与直线y＝－1相切． (1)求动圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
(1)解：由题意得点M与点(0，1)的距离等于点M与直线y＝－1的距离．
由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则
2＝1，所以p＝2.
所以圆心M的轨迹方程为x＝4y.
(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，
??x＝4y，2由?得x－4kx＋8＝0， ?y＝kx－2，?
2
2
p所以x1＋x2＝4k，x1x2＝8.
2
x2x21
y1－y244x1－x2
kAC＝＝＝，
x1＋x2x1＋x24
直线AC的方程为y－y1＝
－x1－x2
4
(x－x1)．
3
规划很好卡卡看法即y＝y1＋
x1－x2
4
x1－x2x1（x1－x2）x2x1－x2x1x21
(x－x1)＝x－＋＝x＋，
4
4
4
4
4
因为x1x2＝8，所以y＝
x1－x2
x＋2，
4
则直线AC恒过点(0，2)．
x2y23
8．(2018·西安质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线x＋3yab2
－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
1
解：(1)原点到直线x＋3y－1＝0的距离为，
21?2?3?2?2
由题得??＋??＝b(b＞0)，
?2??2?解得b＝1.
c2b23
又e＝2＝1－2＝，得a＝2.
aa4
2
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2
2
x＝my＋4，??2
联立方程组?x 2
＋y＝1.??4
化简得(m＋4)y＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m－48(m＋4)＞0，得m＞12， 所以y1y2＝
12. m＋4
22
2
2
2
2
λ＝|MA|·|MB|
＝m＋1|y1|·m＋1|y2| ＝(m＋1)|y1y2| 12（m＋1）＝
m2＋4＝12?1－
222
2
??
3?
. m＋4??
2
4