发布时间 : 星期二 文章普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第三章 动量定理及其守恒定律更新完毕开始阅读
解:建立图示坐标o-xy,应用共点力平衡条件:?Fx?0,?Fy?0
x方向,F1cosα-F2cosα=0, F1= F2 y方向,F1sinα+F2sinα- F=0,
,另一端固结于一处悬挂重物,重量为W,线与铅垂线夹角为α,求各线内张力。若四根线均不等长,知诸线之方向余弦,能算出线内张力吗?
解:设四根绳子的张力为T1,T2,T3,T4,由于对称,显然,T1=T2=T3=T4=T;设结点下边的拉力为F,显然F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件:
4Tcosα-W=0,T=W/(4cosα)
若四根线均不等长,则T1≠T2≠T3≠T4,由于有四个未知量,因此,即使知道各角的方向余弦,也无法求解,此类问题在力学中称为静不定问题。
3.6.1 小车以匀加速度a沿倾角为α的斜面向下运动,摆锤相对小车保持静止,求悬线与竖直方向的夹角(分别自惯性系和非惯性系求解)。
解:(1)以地为参考系(惯性系),小球受重力W和线拉力T的作用,加速度a
θ α 沿斜面向下,建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律:?解得 tg??acos?/(g?asin?)
?Tsin??macos?
mg?Tcos??masin??(2)以小车为参考系(非惯性系),小球除受重力W、拉力T外,还受惯性力
f*的作用(见上图虚线表示的矢量),小球在三个力作用下静止,据牛顿第二定律:
?Tsin??macos??0acos?tg?? 解得 ?g?asin?mg?Tcos??masin??0?3.6.2 升降机内有一装置如图示,悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量,
不计轴承处摩擦,绳不可伸长,求当升降机以加速度a(方向向下)运动时,两物体的加速度各是多少?绳内的张力是多少?
解:以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力,f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.
以向下为正方向,由牛顿二定律,有:
(m1?m2)a?(m2?m1)g?a'??m1g?T?m1a??m1a'?m1?m2解得:? ??m2g?T?m2a?m2a'?T?2mm(g?a)/(m?m)1212?设m1、m2的加速度分别为a1、a2,根据相对运动的加速度公式,
??????a1?a1'?aa2?a2'?a 写成标量式:a1??a'?a,a2?a'?a,将a’代入,求得:
2m2a?(m2?m1)g?a??1m1?m2? ??a?2m1a?(m2?m1)g2?m1?m2?,框架上悬挂小球,将摆移开平衡位置而后放手,小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时,释放框架使它沿轨道自由下落,如图a,问框架自由下落时,摆锤相对于框架如何运动?⑵当小球摆至平衡
位置时,释放框架,如图b,小球相对框架如何运动?小球质量比框架小得多。
解:以框架为参考系,小球在两种情况下的受力如图所示:设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g,因此小球所受的惯性力f*=mg,方向向上,小球所受重力W=mg. 在两种情况下,对小球分别应用牛顿第二定律:
⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0,所以法向加速度
a b an=v2/l=0(l为摆长);由于切向合力Fτ=Wsinθ-f*sinθ=0,所以切向加速度aτ
=0. 小球相对框架的速度为零,加速度为零,因此小球相对框架静止。
f* T ⑵小球摆至平衡位置时释放框架,小球相对框架的速度不为零,法向加速
f* T 度an=v2/l≠0,T=man ;在切向方向小球不受外力作用,所以切向加速度aτ=0,
θ 因此,小球速度的大小不变,即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运W W 动。
,轮胎与壁面静摩擦系数为0.6,求摩托车最小线速度(取非惯性系做)
解:设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω,以摩托车本身为参考系,车受力情况如图示,运动状态静止。
f=μ0N 在竖直方向应用平衡条件,μ0N = mg ①
N f*=mω2r 2
在水平方向应用平衡条件,N = mωr ② mg ①/②得:?0?g?2r,??g?0r
最小线速度 v??r?rg/?0?3.0?9.8/0.6?7m/s
,一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动,即盘中心不动。⑴小盘相对于雨伞如何运动?⑵以伞为参考系,小盘受力如何?若保持牛顿第二定律形式不变,应如何解释小盘的运动?
解:⑴可把小盘当作质点,小盘相对雨伞做匀速圆周运动,与伞相对地的转向相反。
⑵以伞为参考系,小盘质点受5个力的作用:向下的重力W,与扇面垂直的支持力N,沿伞面向上的静摩擦力f0,此外还有离心惯性力fC*和科氏惯性力fk*,方向如图所示。把这
f0 N 些力都考虑进去,即可保持牛顿第二定律的形式不变,小盘正是在这些力的作用fC* fK* 下相对伞做匀速圆周运动。
,其速率为400m/s,打击6.0km远的目标,问该弹受地球自转影响否?如受W ω 影响,偏离目标多少(自己找其它所需数据)?
解:以地球为参考系,导弹除受重力作用外,还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用。ω 离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内,不会使导弹前进方位偏离,而科氏惯性力
v fk* × 的方向垂直速度、重力加速度平面(指向纸面),要使导弹偏离前进方向。
fC* 60° 由于导弹速度较大,目标又不是很远,可近似认为导弹做匀速直线运动,导弹击中目
标所需时间t=6000/400=15s,在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离:
???2?F?2tij,s),
???(1?t)?j(N,s)分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示;再求t=0至t=1时间内的冲量,⑵F?2ti也用图表示。
???2?j,代入t值得: 解:⑴F?2ti2 1 y F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) x 0 1 2 11?1?????2?I??Fdt?2i?tdt?2j?dt?ij
000y 2 1 I I?1?2?5Ns,与x轴夹角
α= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°
22α 0 1 2 x ???(1?t)?j,代入t值得: ⑵ F?2ti111?1???tdt????1?I??Fdt?2ij?dt??j?tdt?i2j
0000y F(0) 1 y 2 0 1 F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) 1 2 x I?12?0.52?5/2Ns,与x轴夹角
α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5°
,其位置矢量为:
α 0 1 I 2 x ???bsin?t?r?acos?tij,求质点的动量。
???bcos?t?j 解:质点速度:v?dr/dt???asin?ti??m?bcos?t?j 质点动量:p?mv??m?asin?ti大小:p?????px?py?m?a2sin2?t?b2cos2?t
22方向:与x轴夹角为θ,tgθ= py/px = - ctgωt·b/a
,每颗子弹质量为7.9g,出口速率为735m/s,求射击时所需的平均力。 解:枪射出每法子弹所需时间:Δt=60/120=0.5s,对子弹应用动量定理:
3.7.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来,经棒击球后,球沿水平成30o飞出,速率为80m/s,球与棒接触时间为0.02s,求棒击球的平均力。
解:以地为参考系,把球视为质点,
???由动量定理,F?t?mv?mv0,画出矢
量图,由余弦定理,F?t?(m2v2?m2v0?2m2v0vcos30?)1/2,代入数据,可求得F=881N.由正弦定理 mv FΔt mv/sin??F?t/sin30?,代入数据, 求得sin??0.3179,??18?32'
3.7.5 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为μ0,质量为m的滑
块与M均处于静止,绳不可伸长,绳与滑轮质量可不计,不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高,松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M?设当m下落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。
解:以地为参考系,选图示坐标,先以m为研究对象,它被托起h,再落 回原来位置时,速度大小为v?22gh,在Δt极短时间内与绳相互作用,速度又变为零,设作用在m上
的平均冲力为F,相对冲力,重力作用可忽略,则由质点动量定理有:
F?t?0?(?mv)?mv?m2gh,∴F?m2gh/?t
再以M为研究对象,由于绳、轮质量不计,轴处摩擦不计,绳不可伸长,所以M受到的冲力大小也是F,M受到的最大静摩擦力为fmax=μo Mg,因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是: F≥fmax,即m2gh/?t??oMg?h??oM2(?t)2g/2m2
, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg,m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是:(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2),四个质点的质心坐标是:(x,y)=(1,-1),求m3的位置坐标。
解:由质心定义式:?mixi??mixC,?miyi??miyC,有
i?1i?1i?1i?1444423.8.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大?(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)
x 解:(1)用质点系动量定理解:
m1 以岸为参考系,把车、船当作质点 F m2 系,该系在水平方向只受缆绳的拉
力F的作用, 应用质点系动量定
理,有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N
(2)用质心运动定理解:F=(m1+m2)ac ,据质心定义式,有: (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 , a1为车对岸的加速度,a1=(v-0)/Δt=v/Δt, a2为船对地的加速度,据题意a2=0,∴ac=a1m1/(m1+m2),代入a1, ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ,∴F=m1v/Δt=1500N
(3)用牛顿定律解: a2=0 a1
分别分析车、船两个质点的 F f f
m2 m1 受力与运动情况:其中f为
静摩擦力,a1=v/Δt,对两个质点分别应用牛顿二定律:
,驳船质量m2=6000kg,当汽车相对船静止时,由于船尾螺旋桨的转动,可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时,汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶,船的加速度如何?
解:⑴用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动,螺旋桨的水平推力不变,即车、船系统所受外
x 力不变,由质心运动定理可知,车运动时的质心加速度与车静止时的质心加
a' 速度相等aC=0.2m/s2 a2
设车运动时相对船的加速度为a',相对地的加速度为a1,船相对地的加速度为a2,由相对运动公式:a1?a'?a2, ①
由质心定义式可知:m1a1?m2a2?(m1?m2)aC将①代入②中,可得:a2?aC?21500a2?0.2?1500?6000(?0.5)?0.3m/s
②
m1m1?m2a',取船前进方向为正,代入数据:
⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F,在车静止时,可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点,加速度为a=0.2,由牛顿第二定律:F?(m1?m2)a①
设车运动时相对船的加速度为a',相对地的加速度为a1,船相对地的加速度为a2,由相对运动公式: