发布时间 : 星期二 文章2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（一）更新完毕开始阅读
2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)， x（x－a＋1）
令f′(x)＝0，即＝0.
x＋1解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下： x f′(x) f(x) (－1，0) ＋ ↗ 0 0 极大值 (0，a－1) － ↘ a－1 0 极小值 (a－1，＋∞) ＋ ↗ 可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，13
＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－a2＋. 22
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零， 可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0， 解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
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设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)， 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋ 6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)． 6
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
x＋1当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减． 所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝ S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2. 1
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
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(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 11
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
22f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0； 当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
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故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增， 在(－1，0)上单调递减． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)，
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x＜0)，f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
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22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
2(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间；
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(3)求证：当x>1时，x＋ln x 23 a (1)解：f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点， xa 所以2－＝0，所以a＝4. 2 a(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0， x所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 2x－a（x－a）（x＋a）a 当a>0时，f′(x)＝x－＝＝， xxx 11 / 12 2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一) 令f′(x)>0，得x>a， 所以函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)； 令f′(x)<0，得0 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a)． 2312 (3)证明：设g(x)＝x－x－ln x， 321 则g′(x)＝2x－x－， x 2 （x－1）（2x2＋x＋1） 因为当x>1时，g′(x)＝>0， x所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 1 所以g(x)>g(1)＝>0. 612 所以当x>1时，x2＋ln x 23 12 / 12