发布时间 : 星期五 文章第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案更新完毕开始阅读
因为L经过坐标原点，所以，P,P'到原点的距离相等，故，
x2?y2?z2?x'2?y'2?z'2 ， ③
……………（5分）
将①，②，③联立，消去其中的x',y',z'： 令
x'y'z'?b???t，将x',y',z'用t表示： 1a1x'?t,y'?at,z'?t?b ， ④
将④代入①，得
(a?2)t?x?y?z?b ， ⑤
……………（6分）
当a??2，即L与L'不垂直时，解得t?得到?的方程：
a2?22b22x?y?z?(x?y?z?b)?(x?y?z?b)?b?0，………… （8分） 2(a?2)a?22221(x?y?z?b)，据此，再将④代入③，a?2当a??2时，由⑤得，x?y?z?b，这表明，?在这个平面上。……… （9分）
15同时，将④代入③，有x2?y2?z2?6t2?2bt?b2?6(t?b)2?b2。由于t可以是
66任意的，所以，这时，?的方程为：
?x?y?z?b?52， ………………………… （11分） ?222x?y?z?b?6??的类型：a?1且b?0时，L与L'平行，?是一柱面；a?1且b?0时，L与L'相交，?是一锥面（a??2时?是平面）；当a?1且b?0时，?是单叶双曲面（a??2时，?是去掉一个圆盘后的平面）。 ………………………………………………………………（13分）
七、(20分)设A,B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n?1?rankA?n . 证明存在实可逆矩阵C使得
CTAC,CTBC均为对角阵.
证明 （1） A的秩为n的情形：此时，A为正定阵。于是存在可逆矩阵P使得
PTAP?E。……………………………………… （2分）
因为PTBP是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q使得QT(PTBP)Q??是对角矩阵。（4分）
令C?PQ，则有CTAC?E,CTBC??都是对角阵。（5分）
0??E（2）A的秩为n?1的情形：此时，存在实可逆矩阵P使得PTAP??n?1?。…（6分）
?00??Bn?1??因为PBP是实对称矩阵，所以，可以假定PBP??T?，其中Bn?1是n?1阶实对称矩
?b??TT阵。…………………………………………………………………………………… （8分） 因为Bn?1是n?1阶实对称矩阵，所以存在n?1阶正交矩阵Qn?1，使得
??1?TQnBQ??1n?1n?1?0?0?000??0???n?1为对角阵。……………（10分） ?n???Q?TT令Q??n?1?,C?PQ，则CAC,CBC可以表示为
1???En?1?T??n?1??CAC???,CBC??T?，
0?d????T其中??(d1,d2,...,dn?1)T是n?1维列向量。
?E???n?1??为简化记号， 我们不妨假定A??n?1,B???T?。
0?d????如果d?0，由于B是半正定的，B的各个主子式均?0。考虑B的含d的各个2阶主子式，容易知道，
??0。此时B已经是对角阵了，如所需。…………………………（14分）
现假设d?0。显然，对于任意实数k，A,B可以通过合同变换同时化成对角阵当且仅当同一合同变换可以将A,kA?B同时化成对角阵。由于k?0时，kA?B仍然是半正定矩阵，由（1），我们只需要证明：存在k?0，kA?B是可逆矩阵即可。……………（17分） 注意到，当k??i都不是0时，行列式
k??1kA?B?d1d1k??n?1dn?1dn?1dn?1?di2?n?1??d????(k??i)
k??i?1i?j?1?故只要k足够大就能保证kA?B是可逆矩阵。从而A,B可以通过合同变换同时化成对角阵。证毕。………………………………………………………………………………（20分）
八、(15分)设V是复数域C上的n维线性空间，fj:V?C 是非零的线性函数，j?1,2. 若不存在0?c?C使得f1?cf2， 证明：任意的??V都可表为???1??2使得f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1).
证明：记Ej?Kerfj,j?1,2。由fj?0知dimEj?n?1,j?1,2。……………（2分） 不失一般性，可令
V?Cn????(x1,...,xn):x1,x2,...,xn?C?，由f1?0,f2?0，f1?cf2,?c?C，知
fj(?)?aj1x1?aj2x2?...?ajnxn,j?1,2。
?a11x1?a12x2?...?a1nxn?0 ??a21x1?a22x2?...?a2nxn?0的系数矩阵之秩为2。
因此其解空间维数为n?2，即dim(E1?E2)?n?2。…………………………（8分） 但dimE1?dimE2?dim(E1?E2)?dim(E1?E2)，故有dim(E1?E2)?n，即
E1?E2?V。………………………………………………………………………………（12分）
现在，任意的??V都可表为???1??2，其中?1?E1,?2?E2。注意到f1(?1)?0,f2(?2)?0，因此
f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1)。证毕。…………（15分）