发布时间 : 星期日 文章第一届大学生数学竞赛（数学类）考题及答案更新完毕开始阅读
2? Me3?MF1e2FMe1?2F1A?e2A?e 1F3AeMen?MFn?1e1?Fn?1Me1?Fn?1Ae1?AFn?1e1?Aen
所以，M?A. ………………………….. （14分)
（2）解： 由（1），C(F)?span{E,F,F2,设x0E?x1F?x2F2?,Fn?1}，………… （16分)
?xn?1Fn?1?O，等式两边同右乘e1，利用（*）得
?xn?1Fn?1)e1
??Oe1?(x0E?x1F?x2F2??x0Ee1?x1Fe1?x2F2e1??x0e1?x1e2?x2e3?因e1,e2,e3,?xn?1Fn?1e1?xn?1en.........................(18分）?xn?1?0…………（19分)
,Fn?1是C(F)的基，特别地，
,en线性无关，故，x0?x1?x2?所以，E,F,F2,,Fn?1线性无关.因此，E,F,F2, dim. ……………………………（20分) CF(?)n三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf?f，证明：
f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
证明：假设?0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即W????V|f(?)??0??.于是，W在f下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，?0=0.任取非零??W，记m为使得?,g(?),g2(?),当0?i?m?1时，?,g(?),g2(?),,gi(?)线性无关…..（2分)
,gi?1(?)},其中，W0?{?}.因此，dimWi?i（1?i?m），并且，
,gm(?)线性相关的最小的非负整数，于是，
0?i?m?1时令Wi?span{?,g(?),g2(?),Wm?Wm?1?Wm?2?. 显然，g(Wi)?Wi?1，特别地，Wm在g下是不变的. ………………（4分)
下面证明，Wm在f下也是不变的.事实上，由f(?)??0?，知
fg(?)?gf(?)?f(?)??0g(?)??0?…………（5分)
fg2(?)?gfg(?)?fg(?)?????????????g(?0g(?)??0?)?(?0g(?)??0?)??????????????0g2(?)?2?0g(?)??0?根据
.............................(6分）fgk(?)?gfgk?1(?)?fgk?1(?)?????????????g(fgk?1)(?)?fgk?1(?)
,gk(?)的线性组合，且表示
用归纳法不难证明，fgk(?)一定可以表示成?,g(?),g2(?),式中gk(?)前的系数为?0. …………………………………. （8分) 因此，Wm在f下也是不变的，f在Wm上的限制在基?,g(?),g2(?),,gm?1(?)下的矩阵
是上三角矩阵，且对角线元素都是?0，因而，这一限制的迹为m?0. …..（10分)
由于fg?gf?f在Wm上仍然成立，而fg?gf的迹一定为零，故m?0?0，即
?0=0. ………………………….. （12分)
任取??W，由于f(?)??，fg(?)?gf(?)?f(?)?g(?)?f(?)??，所以，g(?)?W.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是f,g的公共特征向量. ………………………………. （15分)
四、（10分）设?fn(x)?是定义在?a,b?上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在?a,b?上满足fn'(x)?M（.1）证明?fn(x)?在?a,b?上一致收敛；（2）设f(x)?mil(f)xnn??，问f(x)是否一定在?a,b?上处处可导,为什么？
证明：（1）???0，将区间?a,b?K等分，分点为xj?a?j(b?a),Kj?0,1,2,,K，使
得
b?a?? . 由于?fn(x)?在有限个点?xj?,j?0,1,2,K,K上收敛，因此?N，?m?n?N，
使得fm(xj)?fn(xj)?? 对每个j?0,1,2,于是?x?[a,b]，设x?[xj,xj?1]，则
,K成立. ………………………….. （3分)
fm(x)?fn(x)?fm(x)?fm(xj)?fm(xj)?fn(xj)?fn(xj)?fn(x)， ?fm'(?)(x?xj)?fm(xj)?fn(xj)?fn'(?)(x?xj)??2M?1??. …（5分)
（2）不一定. ……………………………（6分) 令 fn(x)?x2?1，则f(x)?limfn(x)在?a,b?上不能保证处处可导.（10分)
n??n?20?1sinnttdt， 证明?发散. sintn?1an333五、（10分）设an???3??sinntsinntsinnt解： ?2tdt??ntdt???2tdt?I1?I2 ……. （3分)
00sintsintsintn?2sinnt?n3I1??ntdt?n?ntdt?， ………………………（5分)
00sint2?sinnt?3?????1?22I2???tdt???t???dt????2d?? ………..（7分)
sint8n?t??2t?nn?33?3?3?n2??2n?????. …………..（8分) 8????8?111因此?2，由此得到?发散. ……………………（10分)
an?nn?1an?2f?2f（15分） f(x,y)是(x,y)|x?y?1上二次连续可微函数，满足2?2?x2y2，计算积六、
?x?y?22??x?fy?f??dxdy. ?分I???22?22?x22?y?x?y?1?x?y?x?y?解： 采用极坐标x?rcos?,y?rsin?，则
I??dr?0112?01???f?f?f??f?cos???sin??rd??drdy?dx?…..（6分) ????0x2?y2?r2??x?x?y?y??????dr??01r1??f?f?22?dxdy?drxy?dxdy ……. （10分) ??222?22222???x?y?r0x?y?r??x?y?2???dr??d??cos2?sin2?d??0005?168. ……………….（15分)
（15分））假设函数 f(x)在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 A(0,f(0))，七、
与点 B(1,f(1))的直线与曲线 y?f(x)相交于点 C(c,f(c))，其中 0?c?1. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ?，使 f??(?)?0.
证明：因为 f(x)在 [0,c]上满足 Lagrange中值定理的条件，故存在 ?1?(0,c)， 使
f(c)?f(0).…………………………………………. （4分)
c?0由于C在弦 AB上，故有
f(c)?f(0)f?(1)f(0) =f(1)?f(0).….………….……….. （7分) ?c?01?0 f?(?1)?从而 f?(?1)?f(1)?f(0). …………………………...………..……….. （8分)
同理可证，存在 ?2?(c,1)，使 f?(?2)?f(1)?f(0). …….……..（11分) 由f?(?1)?f?(?2)，知 在[?1,?2]上 f?(x)满足 Rolle定理的条件，所以存在
??(?1,?2)?(0,1)，使 f??(?)?0. ………………….………….…….（15分)
首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准 （数学类，2010）
一、 填空题（共8分，每空2分.） （1） 设????0，则
??e??x2?0?e??xdx= ?(???). 2x2（2）若关于x的方程kx?231在区间中有惟一实数解，则常数 . ?1(k?0)(0,??)k?9x2xa（3）设函数f(x)在区间[a,b]上连续.由积分中值公式有?f(t)dt?(x?a)f(?)
??a1的值等于 . (a???x?b).若导数f??(a)存在且非零， 则limx?a?x?a2（4）设(a?b)c?6，则[(a?b)?(b?c)](a?c)=___12________.
二、（10分）设f(x)在(?1,1)内有定义，在x?0处可导，且f(0)?0.证明：
lim?n??k?1n'?k?f(0)f?2??. n2??证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有f(x)?f(0)?f'(0)x??(x)x,其中?(x)是x的函数，?(0)?0,且?(x)?0,当x?0。……………………………………… （2分） 因此，对于任意给定的??0，存在??0，使得?(x)??,只要x??。…… （3分）