发布时间 : 星期四 文章《数学分析》（华师大二版）课本上的习题22更新完毕开始阅读
P.399 高斯公式与斯托克斯公式
1. 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）（2）（3）
??yzdydz?zxdzdx?xydxdy，其中S是单位球面xSS2?y2?z2?1的外侧；
222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中S是立方体0?x,y,z?a表面的外侧； ??222222x?y?z，其中是锥面与平面z?h所围的空间xdydz?ydzdx?zdxdyS??S区域(0?z?h)的表面，方向取外侧； （4）
222333x?y?z?1的外侧； ，其中是单位球面xdydz?ydzdx?zdxdyS??S（5）
222，其中是上半球面的外侧。 xdydz?ydzdx?zdxdyz?a?x?yS??S2. 应用高斯公式计算三重积分
???(xy?yz?zx)dxdydz，其中V是由x?0,y?0,
V0?z?1与x2?y2?1所确定的空间区域.
3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1）(y?z)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L为x?y?z?1与三坐标面的交
L?222222线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； （2）（3）
?xLL2y3dx?dy?zdz其中L为y2?z2?1,x?y所交的椭圆的正向；
?(z?y)dx?(x?z)dy?(y?x)dz，其中L为以A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶
点的三角形沿ABCA的方向。
4. 求下列全微分的原函数： （1）yzdx?xzdy?xydz;
（2）(x?2yz)dx?(y?2xz)dy?(z?2yx)dz 5. 验证下列线积分与路线无关，并计算其值： （1）（2）
222??(2,3,?4)(1,1,1)xdx?y2dy?z2dz; xdx?ydy?zdzx2?y2?z2,其中(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)在球面x?y?z?a上.
2222(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)6. 证明: 由曲面S包围的立体V的体积等于V?1(xcos??ycos??zcos?)dS,其中 3??Scos?,cos?,cos?为曲面S的外法线方向余弦.
word
7. 证明: 若S为封闭曲面,l为任何固定方向,则
线方向. 8. 证明:公式
??cos(n,l)dS?0,其中n为曲面S的外法
Sdxdydz1???cos(r,n)dS其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向, ???r2SV r?x2?y2?z2,r?(x,y,z).
9. 若L是平面xcos??ycos??zcos??p?0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,
求
dxdycos?ydzcos?, z?Lcos?x其中L依正向进行.
P.409 场论初步 1. 若 r?21x2?y2?z2.计算?r,?r2,?,?f(r),?rn(n?3)。
r222. 求u?x?2y?3z?2xy?4x?2y?4z在点O(0,0,0)、A(1,1,1)、B(?1,?1,?1,)的梯度，并求梯度为零之点。
3. 证明本节第二段关于梯度的一些基本性质1~5。 4. 计算下列向量场 A的散度与旋度： （1）A?(y?z,z?x,x?y); （3）A?(222222（2）A?(xyz,xyz,xyz);
222xyz,,). yzzxxy5. 证明本节第三段关于散度的一些基本性质1~3.
6. 证明本节第四段关于旋度的一些基本性质1~3（可应用算符?推演）.
7. 证明：场A?(yz(2x?y?z),xz(x?2y?z),xy(x?y?2z))是有势场并求其势函数．
2228. 若流体流速A?(x,y,z)，求单位时间内穿过18球面x?y?z?1,x?0,
222y?0,z?0的流量。
９. 设流体流速A?(?y,x,c)(c为常数），求环流量：
22（１）沿圆周x?y?1,z?0； （２）沿圆周(x?2)?y?1,z?0。
22
p.409 总练习题
word
1. 设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
?2u?2u?u?v?u?v?u（1）??v(2?2)dxdy????(?)dxdy??vds;
L?n?x?x?y?y?x?yDD?2v?2v?2u?2u?v?u（2）??[u(2?2)?v(2?2)]dxdy??(u?v)ds.
L?n?n?x?y?x?y其中D为光滑闭曲线L所围的平面区域，而
?u?u?u?cos(n,x)?sin(n,x), ?n?x?y?v?v?v?cos(n,x)?sin(n,x) ?n?x?y
是u(x,y),v(x,y)沿曲线L的外法线n的方向导数。 2. 求指数?，使得 k?22?(s,t)(s0,t0)x?x2?rdx?2rdy yy与路线无关(r?x?y)，并求k.
3. 设P?x?5?y?3yz,Q?5x?3?xz?2,R?(??2)xy?4z. （1）计算
其中L为螺旋线x?acost,y?asint,z?ct(0?t?2?)； ?Pdx?Qdy?Rdz，
L22(2) 设A?(P,Q,R),求rotA；
（3）问在什么条件下A围有势场，并求势函数。
?2u?2u?2u4. 证明：若?u??2?2,S为包围区域V的曲面的外侧，则 2?x?y?z（1）
????udxdydz???VS?udS; ?n（2）
??uS?udS???????udxdydz????u?udxdydz. ?n?V其中u在区域V及其界面S上有二阶连续导数，
?u为沿曲面S外法线的方向导数。 ?n5. 设S为光滑闭曲面，V为S所围的区域，在V与S上函数u(x,y,z)二阶偏导数连续，
函数w(x,y,z)偏导连续.证明：
word
（1）
???wV?u?wdxdydz???uwdydz????udxdydz; ?x?xSV?udS?????u?wdxdydz. ?nV（2）
???w?udxdydz???wVS6. 设A?有
rr3,S为一封闭曲面，r?(x,y,z).证明当原点在曲面S的外、上、内时，分别
2?、4?。 ??A?dS?0、S7. 证明公式：
??f(msin?cos??nsin?sin??pcos?)sin?d?d?
D这里D?{(?,?)0???2?,0????}.m2?n2?p2?0,f(t)在t?为连续函数.
m2?n2?p2时
word