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第九章 多元函数微分法及其应用
一、填空题
1.若f(x,y)?x2?y2?xytanxx,则f(tx,ty)?t2x2?t2y2?t2xytan?t2f(x,y). yyx2.若f()?yx2?y2(y?0),则f(x)?1?u2. yyy的定义域为{(x,y)|||?1且x?0}. xx3.函数z?arcsin1sinxy4. lim(1?xy)x?0y?0?e.
?z?xexy?x2. ?y5.若z?exy?yx2,则
6.若f(x,y)?5x2y3,则fx(0,1)?10xy3|(0,1)?0. 7.若u?ln(1?x2?y2?z2),则du?yx2(xdx?ydy?zdz).
x2?y2?z2yyyx1x8.设z?e,则dz??2edx?edy.
xx9.已知z?sin(y?ex),而y?x3,则
dz?(3x2?ex)cos(x3?ex). dx3dz?esint?2t(cost?6t2). dt10. 已知z?ex?2y,而x?sint,y?t3,则
11.设z?ln(1?x2?y2),则dzx?1?y?212dx?dy. 33212. 设z?uv,而u?xcosy,v?xsiny,则
?z3x2cos2ysiny, ??x?z322?xcosy(cosy?2siny). ?y?2z?2z13.若z?f(x,y)在区域D上的两个混合偏导数 连续 ，则在D上,?x?y?y?x?2z?2z. ??x?y?y?x14.函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微的 必要 条件是z?f(x,y)在点(x0,y0)处
的偏导数存在.(填“充分”、“必要”或“充分必要”)
15.函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可微是z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续的 充分 条件. (填“充分”、“必要”或“充分必要”)
16．设f(x,y,z)?xy2z3，其中z?z(x,y)是由方程x2?y2?z2?3xyz?0所确定的隐函数，则fx(1,1,1)??2. 二、选择题 1.二元函数z?ln41的定义域是( A ) ?arcsin2222x?yx?y（A）{(x,y)|1?x2?y2?4}; （B）{(x,y)|1?x2?y2?4}; （C）{(x,y)|1?x2?y2?4}; （D）{(x,y)|1?x2?y2?4}. 2.设函数z?ln(xy),则（A）
?z?( C ) ?x1y1x; （B）; （C）; （D）.
xxyy3.设函数z?sin(xy2),则
?z?( D ) ?x（A）xycos(xy2); （B）?xycos(xy2); （C）?y2cos(xy2); （D）y2cos(xy2). 4.设函数z?3xy,则
?z?( D ) ?x（A）y3xy; （B）3xyln3; （C）xy3xy?1; （D）y3xyln3. 5.设函数z?（A）?1?z,则?( C )
?yxy1111?; （B）; （C）; （D）.
xy2x2yx2yxy2?2z6.设函数z?sinxy,则2?( A )
?x（A）?y2sinxy; （B）y2sinxy; （C）?x2sinxy; （D）x2sinxy. 7.设二元函数z?x?y,则dz?( B ) x?y2(xdx?ydy)2(xdy?ydx)2(ydy?xdx)2(ydx?xdy)（A）; （B）; （C）; （D）. 2222(x?y)(x?y)(x?y)(x?y)8.设函数y?f(x)是由方程y?xey?x?0确定,则
dy?( B ) dxeyey?1ey?1ey（A）; （B）; （C）; （D）. yyyy1?xe1?xe1?xe1?xe9.设函数z?f(x,y)是由方程x2?y3?xyz2?0确定,则
?z?( B ) ?x2x?yz22x?yz23y2?xz23y2?xz2（A）; （B）; （C）; （D）.
2xyz2xyz2xyz2xyz10.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则( C)
（A）limf(x,y)必不存在； （B）f(x0,y0)必不存在；
x?x0y?y0（C）f(x,y)在点(x0,y0)必不可微；（D）fx(x0,y0),fy(x0,y0)必不存在. 11.考虑二元函数f(x,y)的下面4 条性质： ①函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续；
②函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数连续； ③函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微；
④函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在. 则下面结论正确的是（ A ）
（A）②?③?①；（B）③?②?①；（C）③?④?①； D）③?①?④。
?x2y22,x?y?0?4212.设函数f(x,y)??x?y，则在(0,0)点处（ C ）
?0,x2?y2?0?（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。 三、是非题
?z1?2x? （× ） ?xy2. 若函数z?f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续 （ × ）
3. 函数z?f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)?fyx(x0,y0). （ × ）
1. 设z?x2?lny，则
?xy22,x?y?0?224. 函数f(x,y)??x?y在点(0,0)处有fx(0,0)?fy(0,0)?0.（ √ ）
?x2?y2?0?0,5. 函数z?x2?y2在点(0,0)处连续，但在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均
不存在。 （ √ ）