发布时间 : 星期一 文章2001年第12届希望杯数学邀请赛（初一）第2试试题更新完毕开始阅读
1a1a1a?x??y??z?b 232323a 即 (x+y+z)=b
66b ∴ x+y+z=.选(C).
a ∴
7.∵ 表示不大于a的最大质数 ∴ <3>=3,<25>=23,<30>=29
∴ <3>×<25>×<30>=3×23×29=2001 又<2001>=1999. 选(B).
8.“甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2?,“子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2?.
∴ “甲”和“子”在同一列时应有 10m+1=12n+1 即 10m=12n
当m=n=0时第一次“甲”、“子”同列,第二次“甲”、“子”同列时应是使得10m=12n成立的最小正整数m和n，即m=6,n=5. ∴ 应是第61号位置. 选(B)
9.设a和b,满足题目条件,首先一定有a 22 0≠ab=(a-b)+(b-a)(a-b)=(a-b)-(a-b)=0,矛盾. ∴一定有a 22 (a-b)+(b-a)·∣a-b∣=2(a-b)=ab 2 ∵ ab≠0.(a-b)≥0. ∴ ab>0,即(A)一定不成立.选(A). 10.按降序字典排列法,10个整式的次序如下: 9xzy,8xy,7xz, 34 3 32 12122323 xyz,-3xyz,xzy,-xyz,9yz,zy,0.3z25 易知9yz 在第8个位置.选(D). 二、11.设所求锐角为a,它的一半为-a,依题意得 ?,这个锐角的余角为90°-a,这个锐角的补角为180°2?+(90°-a)+(180°-a)=180° 2解得a=60° 2 12.∵a+a=0 19991999 ∴a(a+a)=a·0=0 20012000 即a+a=0 20012000 ∴a+a+12=12 13.如题图所示的所有三角形均以A为一个顶点,一个底边在BC上,因此所有三角形都具有相等的高,于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之 和的问题.因为所有线段长之和是BC的n倍, 则图中所有三角形面积之和就是SΔABC的n倍. 设DE=FG=x,则BD=CG=2x,EF=3x,BC=9x. 图中共有1+2+3+4+5=15个三角形,则它们在线段BC上的底边之和为 [BC+(BD+DC)+(BE+EC)+(BF+FC)+(BG+GC)]+[DG+(DE+EG)+(DF+FG)]+EF =9x×5+5x×3+3x =63x 由此可知BC上所有线段之和63x是BC=9x的7倍,所以图中所有三角形面积之和等于SΔABC 的7倍.已知SΔABC=1,故图中所有三角形的面积之和为7. 14.若x为方程的正根,则 x=ax+1 即(1-a)x=1. ∵ 1>0,x>0, ∴ 1-a>0 即a<1 ① 若x为方程的负根,则 -x=ax+1,即(1+a)x=-1. ∵ -1<0,x<0. ∴ 1+a>0 即a>-1 ② 要使原方程同时有正根和负根,则必须同时满足①和②,即- 15.设小明妈妈为这件生日礼物在银行存储了x元,年利率为3%,则三年后共得3000元,于是 3 x(1+3%)=3000 3 又 1.03=1.092727 ∴ x=3000÷1.092727≈2746(元)(精确到个位). 16.由方程组?? ①?mx?2y?10 ②??3x?2y?0 得(m+3)x=10 ∵ 方程有整数解 10 (m??3) m?315 代入②式得y= . m?31015 为使 为整数且m为正整数,只能取m=2或m=7,为使为整数,只能m=2或 m?3m?3 ∴ x=m=12. ∴ 要使 2 1015, 均为整数的正整数只能为2,即m=2. m?3m?3 ∴ m=4. 17.如图,设AB=a,BC=b,则SABCD=ab=300(平方米) 1331a21a?b?ab, SΔABH=??b?ab 2482236311111ab??300?137.5 (m2) ∴S阴影=ab-ab?ab?862424 SΔABH= 18.图像的点数为mn个 ∵ m、n均是奇数 ∴ mn也是奇数 由于一个字节可以存放两个点的颜色,又mn除以2余1,这一个点也需一个字节存放其颜色. ∴ 存放mn个点的颜色至少需要 1(mn+1)个字节. 219.正整数中合数序列自小到大依次排列是: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,… 而大于19的任何一个奇数比19大一个偶数,将这个偶数加在6上, 则任何一个大于19的奇数都可表示为三个不同的合数之和. 容易看出4+6+9=19,所以三个不相等合数之和的最小奇数为19.因而不能写出三个不相等的合数之和的最大奇数是17. 20.在0到25的整数中,只有14满足 3×14=42=26+16(被26除余数为16) ∴ x2 =14, ∵ x1 +2×14除以26的余数为9,而28除以26的余数为2. ∴ x1 =7. 类似地,在0到25的整数中,只有4满足3×4=12, ∴ x4 =4. ∵ x3+2×4除以26余数为23,而8除以26的余数为8, ∴ x3 =15. 对应7,14,15,4的字母分别是h,0,p,e. ∴ 密码单词为hope. 三、21.一个依次排列的n个数组成一个数串: a1, a2, a3,…,an, 依题设操作方法可得新增的数为: a2-a1, a3-a2,a4-a3,…,an-an-1 ∴ 新增数之和为: (a2-a1)+ (a3-a2)+ (a4-a3)+…+ (an-an-1)=an-a1 ① 原数串为3个数:3,9,8. 第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8. 根据①可知,新增4项之和为: 6+(-1)=5=8-3. 第2次操作后所得数串为: 3,3,6,3,9,-10,-1,9,8. 根据①可知,新增4项之和为: 3+3+(-10)+9=5=8-3 按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为: (3+9+8)+100×(8-3)=520. 22.证法1:因为AB∥ED,所以α=∠A+∠E=180°. (两直线平行,同旁内角互补) 过C作CF∥AB.(如图) ∵ AB∥ED,∴ CF∥ED. (平行于同一条直线的两条直线平行) ∵ CF∥AB,有∠B=∠1, (两直线平行,内错角相等) 又∵ CF∥ED,有∠2=∠D,(两直线平行,内错角相等) ∴ β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°.(周角定义) ∴ β=2α.(等量代换) EDEDCAB21FAF21C B 证法2: ∵ AB∥ED, ∴α=∠A+∠E=180°. (两直线平行,同旁内角互补) 过C作CF∥AB.(如图) ∵ AB∥ED,∴ CF∥ED, (平行于同一条直线的两条直线平行) ∵ CF∥AB,有∠B+∠1=180°, (两直线平行,同旁内角互补) 又∵ CF∥ED,有∠2+∠D=180°, (两直线平行,同旁内角互补) ∴ β=∠B+∠C+∠D =∠B+(∠1+∠2)+∠D =(∠B+∠1)+(∠2+∠D) =180°+180°=360°. ∴ β=2a.(等量代换) 23.设小熊和小猫的个数分别为x和y,总售价为z,则 z=80x+45y=5(16x+9y) (*) 根据劳力和原材料的限制,x和y应满足 15x+10y≤450,20x+5y≤400. 化简为3x+2y≤90 ① 及4x+y≤80 ② 当总售价z=2200时,由(*)得 16x+9y=440 ③ ②×9得 36x+9y≤720 ④ ④-③得20x≤720-440=280,即x≤14 (A) 927 得x+9y≤405 ⑤ 225 ③-⑤得 x≥440-405=35,即x≥14 (B) 2 ①× 综合(A)、(B)可得x=14,代入③求得y=24. 当x=14,y=24时,有3x+2y=90,4x+y=80满足工时和原料的约束条件, 此时恰有总售价 z=80×14+45×24=2200(元). 答:安排生产小熊14个、小猫24个可达到总售价2200元.