发布时间 : 星期三 文章概率论第四章课后习题解答更新完毕开始阅读
E(X2)?D(X)?(E(X))2
又 E(5X2)?5E(X2)?5[D(X)?(E(X))2] 故 E(5X2)?5[9?0]?45（V）
x?1 或 因为f(x)?e18
32?2 E(Y)?E(5X)?5E(X)
?5x???32?e?2?x218dx??x22?325?9[?xe32??x218?????e????x218dx]
1 ?45?32?????edx?45（V）
15、将n只球（1?n）号随机地放进n个盒子（1?n）中去，一个例子中装一只球。若一只球装入与球同号的例子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X)
解 设Xi???1,第i号球配成对，i?1,2,?,n，则Xi服从（0－1）分布，故
?0，第i号球不配对1n?11n?11? ，P{Xi?0}?，E(Xi)?1??0?nnnnni} P{Xi?1?又 X??Xi?1nn，所以
E(X)??E(Xi)??i?1i?1n11?n??1。 nn16、若n有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把打开门上的锁，用它们去试开门上
的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求开锁的次数X的数学期望。
（1）写出X的分布律， （2）不写出X的分布律。 解 （1）写出分布律
开锁的次数X的取值为1,2，?，n。 则 P{X?1}?1n?111??， ，P{X?2}?nnn?1nn?1n?211P{X?3}????，?，一般地
nn?1n?2nn?1n?2n?i?111P{X?i}???????，i?1,2,?,n
nn?1n?in?i?1n（备注：这实质上是一个抽签问题，由条件概率知每把钥匙把门打开的概率是相等
的，均为
1） nX 1 2 3 ? n pk n1111 nnnn11n1n(n?1)n?1所以 E(X)??i???i?? ?nni?1n22i?1（2）不写出分布律
不妨设第j抒钥匙能打开门上的锁，把第一次抽取看作是第一轮，则第一次抽取后，
剩下的有n?1把钥匙，依此类推。
?1,第i轮抽到第j把钥匙 Xi???0,第i轮没抽到第j把钥匙1Cnn?i?1i?1n?i?1?则 P{Xi?1}??i?1? （P{Xi?0}?1?） nnnnn?i?11n(n?1)n?1故 E(X)?? ?1?(n?1)??i?(n?1)??nni?122i?117、设X为随机变量，C为常数，证明D(X)?E[(X?c)2]，对于c?E(X)。（由于） D(X)?E[(X?C)2]，上式表明E[(X?C)2]当C?E(X)时取到最小值。证明 因为 E[(X?c)2]?D(X)
n?E(X2?2cX?c2)?D(X)
?E(X2)?2cE(X)?c2?(E(X2)?E2(X)) ?E2(X)?2cE(X)?c2 ?(E(X)?c)2
22当 c?E(X)时，E[(X?c)]?D(X)?(E(X)?c)?0。
2即 D(X)?E[(X?c)]
2当 c?E(X)时 E[(X?c)]?D(X)?0，
2即 D(X)?E[(?X c)]18、设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为
?x?x2?e f(x)???2??0,(2?2),x?0?0
其中?＞0是常数，求E(X)和D(X)。
??解 E(X)? ????xf(x)dx??x20??xe222?2dx
??0?xd(e?x22?2)
?2 ??xe ? ??x22?2?0|??e?x02?2dx
??0e?x22?2dx
1?x2e2??2?22????0dx?2??1??? 22又 E(X)?2????xf(x)dx??2?x30?)
?xe222?2dx
???0?x2d(e?x22?2 ??2xe ?22?x22?2?0|?2?xe?x02?22?2dx
2??02xe?x22?2dx?2??x22?2??x0?2e?x2?2dx
??? ?2?2??x???2e2dx （概率密度的性质?f(x)dx?1）
?2??1?2?
所以 D(X)?E(X)?E(X)?2??222?2?2?4??2? 219、设随机变量X服从?分布，其概率密度为
x?1??1??xe,x?0?? f(x)????(?)
?0,x?0?其中??0，??0是常数，求E(X)和D(X)
解 E(X)?????xf(x)dx???0xx??1??xedx ???(?)x?1??? ??xedx ?0??(?)xx?1??????1?? ??(??xe|0????xedx)
0??(?) ?????0x??1?x?edx
???(?)x??1?x? ????edx???
?????(?)?x?1??1xe??dx 又 E(X)?????(?)02xx?1??1??????(??xe|0??(??1)?xedx) ??0??(?)??(??1)???x?xedx ??0??(?)xx??(??1)??????1????(??xe|0????xedx)
0??(?) ??(???)22??0x??1?x?edx ???(?)x??1?x? ??(???)?edx??2(???2) ?????(?)22?故 D(X)?E(X)?E(X)??(22222???)?(??)? 2??20、设随机变量X服从几何分布，其分布律为 P{X?k}?p(1?p)k?1，k?1,2,?。
其中0?p?1是常数，求E(X)和D(X)
解 E(X)??kp(1?p)k?1?k?k?1?p?k(q)k?1?k?1 ?p?(qk?1nk)?
?11p? ?p(?q)??p( )? ?p(?qk)??2p1?q(1?q)k?1k?1