发布时间 : 星期一 文章概率论第四章课后习题解答更新完毕开始阅读
即
Z?(X?Y)2 pk 0 1 4 9 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 E(Z)?0?0.1?1?0.2?4?0.3?9?0.4?5。 9（1）随机变量(X,Y)的概率密度为
?12y2,0?y?x?1, f(x,y)??
0,其它.?求E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2?Y2)； （2）随机变量(X,Y)的概率密度为
)?1?(y?xye,x?0,y?0? f(x,y)??y
?0,其它.?求E(X)，E(Y)，E(XY) 解 （1）E(X)? ? E(Y)???10??????xf(x,y)dxdy??xdx?12y2dy
001x?4x4dx??45x510?4 51x1000???????yf(x,y)dxdy??dx?12y3dy??3y4dx??1x135y510?3 510 E(XY)?22???1?????xyf(x,y)dxdy??xdx?12y3dy??3x5dx?00016x2?1 2E(X?Y)?? ???????(x?y)f(x,y)dxdy??dx?12(x2?y2)y2dy
00221x125y?xy)y?0dx ?0511252125x)dx?x6?x6 ??(4x?05330(4x2y3?（2）E(X)?10?x21216??。 33015????0??????xf(x,y)dxdy??dy?0??xy??0x?(y?y)edx y ?xe?ydy?xed(?)
0y? ???0e(xe?y?xy?0??edx)dy
0??xy ???0e?ye?y?0?y?xyx??x?0dy??ye?ydy
0? ??ye????e?ydy?e?y0???0?1
x?(y?)yE(Y)???????yf(x,y)dxdy??dy?e00?dx
x???ye?ydy?ed(?)
00y???xy???yee0??y?xyx??x?0dy??ye?ydy??ye?y0????0??e?ydy?e?y0??0?1
E(XY)?? ????????xyf(x,y)dxdy??dy?xe00x?(y?)ydx
??0xedy?xedx???edy?xed(?)
000y?y????y????xyx??x?0xyxy???ye?y(xe0??edx)dy
0???xy??ye?ye0??y?xyx??x?0?dy??y2e?ydy
0??y2e?y ?2 ?2注：可以利用
?0?2?ye?ydy
0???0?yedy?2(?yee?ydy?2e?y?0?y?y?0??e?ydy)
0?0?2。
??0y2e?ydy??(3)?2
10 （1）设随机变量X?N(0,1)，Y?N(0,1)，且X和Y相互独立。
求EX?2X2?Y2?；
（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点o(0,0)，物资着陆点为(X,Y)，X和
22Y相互独立，且设X?N(0,?)，Y?N(0,?)，求原点到点(X,Y)间的距离的数学期望。
解 （1）根据对称性，
X2Y2E(2)?E(2)， X?Y2X?Y2而X和Y相互独立且
X2Y2X2)?E(2?)E(2 E(222X?YX?YX??2YY2X?2?)2EY1) (?1X2X21)?1E()?所以 2E(2，即。
X?Y2X2?Y221?x或 因为X和Y相互独立，f(x,y)?e2?E(X1)?X2?Y22?22?y22，???x??，???y??。
xe22??x?yG?2022?x2?y22dxdy ?r222???00?20d??r02?rcos?er2??r2222?r22dr
???22cos?d??re0??dr????22cos?d??e0r2d(?)
2? ????00cos2??e?r22?r??r?0d????201?cos2?d? 21 ?(??sin2?)?21?20?1。 2（2）设原点到(X,Y)的距离为R，则R? f(x,y)?
x2?Y2，则(X,Y)的概率密度为
12??e2?x2?y22?2，???x??，???y??。
???2?20d???0r2cos2??r2redrr2x2?y2?e22??x2?y22?22E(X2?Y2)???x2?y2f(x,y)dxdy???GGdxdy
, ??2?0d???12??2?r22?20re2?r22?2r?2??02??2edr,??r22?22?r22?2dr
?1?2??0r2edr???rd(e0?)??re?r22?2?0??e0??r22?2dr
1??22?? ??e2?dr?2??2x?1?4?e,x?0 f(x)??4
?0,x?0?r2?????2?1?。 e2?dr＝?22??r211 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利
100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解 因为设备的寿命为随机变量X，则一台设备在一年内调换的概率
} p?P{X?1?????xx1??1?41fxdx(?)?edx??e40??e1 4041设工厂售出一台设备的净赢利值为Y：则Y的分布律为
Y 100 100－300 pk 故有 E(Y)?100e?14 e?14?0.7788 1?e?14?14?14?0.2212 ?200(1?e)?300e?200
?300?0.7788?200?33.64（元）
12、 某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。
解 设圆盘的直径为X，则X的概率密度为
?1,a?x?b? f(x)??b?a
?其它.?0,记圆盘的面积为Y，则Y? E(Y)?E(?4X2，于是圆盘面积的数学期望为 E(X2)
ba?4bX2)??4??4?ax2?x3dx?b?a43(b?a)??12(b2?ab?a2)
213设电压（以V计）X?N(0,9)，将电压施加于一检波器，其输出的电压为Y?5X，求输出电压Y的平均值。
解 因为X?N(0,9)，所以E(X)?0，D(X)?9 由D(X)?E(X)?(E(X))得
22