发布时间 : 星期四 文章概率论第四章课后习题解答更新完毕开始阅读
个随机变量，其概率密度为
1?x,0?x?1500,?15002???1(x?3000),1500?x?3000, f(x)??21500?0,其它???求E(X)
解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
E(X)??xf(x)dx??xf(x)dx???????015000xf(x)dx??30001500xf(x)dx???3000xf(x)dx
??0??0?dx??15000150003000??1x22(x?3000x)dx??0?dx dx ??150015002300015002x3?3?15002?1x32?(?1500x)21500330001500
6 设随机变量X的分布律为 X pk －2 0 2 0.4 0.3 0.3 求E(X)，E(X2)，E(3X2?5) （2）设X??(?)，求E??1?? X?1??解 E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??02； E(X2)??( 或 因为 222?)?0.4?(?0)?20.?3 (2)0.32.8X2 0 4 0.3 0.7 pk 2所以 E(X)?0?0.3?4?0.7?2.8。 E(3X?21?)E(2X3?)E?(5)E2X3?(?)?5?3 ?2.8113.4（2）因为 pk??ke??k!，k?0,1,2,?
k????k?1??1?e?? 所以 E? ??e?????X?1?k?0k?1k!k?0(k?1)! ? ??1?1e???(k?1)!??e(?k!?e??1)
??k?0k?0??k?11??k?e??(e??1)?1?(1?e?)
1?ke????k （注 在公式E(X)??xkpk中现在的xk?，pk?，? ?e?）
k?1k!k?0k?0k!7 （1）设随机变量X的概率密度为
?e?x,x?0 f(x)??
?0,x?0?2X 求（ⅰ）Y?2X，（ⅱ）Y?e的数学期望；
（2）设随机变量X1，X2，?，Xn相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布
（ⅰ）求U?max{X1,X2,?,Xn}的数学期望， （ⅱ）求V?min{X1,X2,?,Xn}的数学期望。 解 （1）E(Y)?E(2X)? ?2(?xe?x?0?2X?????2xf(x)dx??2xe?xdx
0?0???e?xdx)??2e?x0????2
E(Y)?E(e ?)??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx
0?0???01e?3xdx??e?3x3?1。 3 （2）因为（ⅰ）因为随机变量X1，X2，?，Xn相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为
?1,0＜x?1 fXi(x)??
0,其它?其分布函数为
?0,x?0? FXi(x)??x,0?x?1 i?1,2,?,n
?1,x?1?而 U?max{X1,X2,?,Xn}的分布函数为
?0,z?0?n 即Fmax(z)??z,0?z?1，
?1,z?0??nzn?1,0?z?1 于是fmax(z)??
0,其它? E(Z)?????zfmax(z)dz??nzndz?01nn?11n。 z0?n?1n?1（ⅱ）V?min{X1,X2,?,Xn}
Fmin(z)?1?(1?FX1(z))(1?FX2(z))?(1?FXn(z))?1?(1?F(z))n ?(z)?n(1?Fz(z))n?1Fz?(z)?n(1?Fz(z))n?1fz(z) fmin(z)?Fmin?n(1?z)n?1,0?z?1 ??
0,其它.?E(Z)??zfz(z)dz?n?z(1?z)n?1dz
??0?1 ??n?01n?1(1?u)un?1 d u（令u?1?z）
1 ?n(u0?1?un)du?n?(un?1?un)du
0110 ?u10?nn?un?1?1?n。 n?18 设随机变量(X,Y)的分布律为
X Y －1 0 1 1 2 3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1 （1）求E(X)，E(Y)；
（2）设Z?Y，求E(Z)； X（3）设Z?(X?Y)2，求E(Z)。 解 （1）由已知分布律知其边缘分布为 X Y －1 0 1 1 2 3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1 0.4 0.2 0.4 P.j 0.3 0.4 0.3 1 Pi. E(X)?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2； E(Y)??1?0.3?0?0.4?1?0.3?0。
（2）由已知的分布律有
E(Z)?E(
Y?1?1?1)?P{X?1,Y??1}?P{X?2,Y??1}?P{X?3,Y??1}X123000P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y?0}?P{X?3,Y?0} 123111 ?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?1}?P{X?3,Y?1}
1230.11??。 ??0.2?0.05?0.1?0.05?315 ?（3） E(Z)?E[(X?Y)]?2??(x?y)ijj?1i?122332pij
?2?0.2?3?0.1?4?0?1?0.1
?2?0?3?0.3?0?0.1?1?0.1?2?0.1?5。 或 先求出(X?Y)的分布律，再求对应的数学期望
22222222P{Z?0}?P{(X?Y)2?0}?P{X?1,Y?1}?0.1,
P{Z?1}?P{(X?Y)2?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y?1}?0.2
P{Z?4}?P{(X?Y)2?4}?P{X?1,Y??1}?P{X?2,Y?0}?P{X?3,Y?1}?0.3P{Z?9}?P{(X?Y)2?9}?P{X?2,Y??1}?P{X?3,Y?0}?P{X?3,Y?1}?0.4