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概率论第四章习题解答
1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X的分布律并求数学期望E(X)。
“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E(Y)
（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X的分布律。
解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X的取值为：2,3,4，9，其分布律为
2 3 4 9 X
p 1511 8888
所以 E(X)?2?151115?3??4??9??。 88884（2）因为Y的取值为2,3，4，9
当Y?2时，包含的字母为“O”，“N”，故
1C21?； P{Y?2}?3015 当Y?3时，包含的3个字母的单词共有5个，故
15C3151?? P{Y?3}?30302当Y?4时，包含的4个字母的单词只有1个，故
1C442?? P{Y?4}?303015当Y?9时，包含的9个字母的单词只有1个，故 P{Y?9}?
993?? 303010Y 2 3 4 9 p 1123 1521510 E(Y)?2?112314673?3??4??9???。 15215103015 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X＝7,8，9,10，11,12；
若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。
P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?1 6 P(X?7)?P(X?8)?P(X?9)?P(X?10)?P(X?11)?P(X?12) ?X 111?? 66361 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 p 11111111111 6666636363636363616112215759 E(X)??i??i?6?36?12
6i?136i?7
2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）
解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率
因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y，则
kY?B(10,0.1)，于是有 P{Y?k}?C10(0.1)k(0.9)10?k
（2）一次检验中不需要调整设备的概率
k1 P{Y?1}?P{Y?0}?P{Y?1}?C10(0.1)k(0.9)10?k?C10(0.1)1(0.9)9
?(0.9)10?(0.9)9?3486?0.3874?0.7361
? 则需要调整设备的概率 P{Y?1}（3）求一天中调整设备的次数X的分布律
1?PY{?}?1?0.7?36 1由于X取值为0，1，2，3，4。p?0.2369，则X?B(4,0.2369)
0于是 P{X?0}?C4(0.2639)0(0.7361)4?0.2936
1 P{X?1}?C4(0.2639)(0.7361)3?4?0.2639?0.3989?0.4211
P{X?2}?C4(0.2639)(0.7361)?6?0.0696?0.5418?0.2263 P{X?3}?C4(0.2639)(0.7361)?4?0.0184?0.7361?0.0542 P{X?4}?C4(0.2639)?0.0049
4433222X p 0 1 2 3 4 0.2936 0.4211 0.2263 0.054 0.0049
（4）求数学期望
??0 E(X)0.?29?361??0.42?11?20?.?2263
?1.0556。
3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求E(X)。 解 （1）求X的分布律
由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有4?64 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而
3} P{X?4?又{X?3} “X1； 64?3”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只
3能放在第3、4号两个盒子中，共有2?8种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合X?3这一要求，需要除去，故有
23?17P{X?3}??
6464“X?2”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、
34号三个盒子中，共有3?27种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有2?8种放法，即2号盒子是空的，这不符合X3?2这一要求，需要除去，故有
33?2319P{X?2}??
6464P{X?1}?1?P{X?1}?1?即
171937??? 64646464X p （2）求E(X)
1 2 3 4 371971 64646464??1 E(X)371971100??2??3??4???6464646464j?1251. 5625。164（1）设随机变量X的分布律为P{X?(?1)3j23,1（j?2}?j，
j3?），说明X的数
学期望不存在。
（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。 解 （1）因为级数
?(?1)j?1?j?1jj??3j2(?1)j?1j?13j?13， P{(?1)}??(?1)?j?2?jjj3jj?1j?1这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。
（2）以Ak记事件“第k次摸到黑球”，以Ak记事件“第k次摸到白球”，以Ck表示事件“游戏在k次摸球时结束”，k?1,2,3,?。
按题意，Ck?A1A2?Ak?1Ak，由乘法公式得
P(Ck)?P(Ak|A1A2?Ak?1)P(Ak?1|A1A2?Ak?2)?P(A2|A1)P(A1) 而 P{X?1}?P(A1)?1 211? 3212111 P(A2|A1A2)P(A2|A1)P(A1)?????，
43243一般地，若当X?k时，盒中共有k?1只球，其中只有一只白球，故
P{X?2}?P(A1A2)?P(A2|A1)P(A1)?
P(X?k)?PA(PAk(AA|1?A(A1?A|k?PA2)APA(k?)1A?2Ak?A12k?PA1k?)A1?2
?2|1)(1)1k?1k?21211??????? k?1kk?143k2?k1若E(X)存在，则根据数学期望的定义，就有
11?1， E(X)??kP(X?k)??k???k?1kk?1k?1k?1k?1 而调和级数
???k?1却是发散的，此即表明数学期望E(X)不存在。
k?1?15设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min计）是一