发布时间 : 星期六 文章阵列信号处理中的DOA估计算法更新完毕开始阅读
wBF?a???a??? （14）
从式（14）可以看出，阵列权重向量是使信号在各阵元上产生的延迟均衡，以便使它们
各自的贡献最大限度地综合在一起。空间谱是以空间角为自变量分析到达波的空间分布，其定义为：
PBF????aH???Rxxa??? （15） Ha???a???将所有方向向量的集合?a????成为阵列流形。在实际应用中，阵列流形可以在阵列校
准是确定或者利用接收的采样值计算得到。
从式（15）可知，利用空间谱的峰值就可以估计出信号的波达方向。当有D?1个信号存在时，对于不同的?，利用式（15）计算得到不同的输出功率。最大输出功率对应的空间谱的峰值也就最大，而最大空间谱峰值对应的到的DOA值即为信号波达方向的估计值。古典谱估计方法将阵列所有可利用的自由度都用于在所需观测方向上形成一个波束。当只有一个信号时，这个方法是可行的。但是当存在来自多个方向的信号时，阵列的输出将包括期望信号和干扰信号，估计性能会急剧下降。而且该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的限制，这是由于大角度范围的信号会影响观测方向的平均功率，因此，这种方法的空间分辨率比较低。我们可以通过增加天线阵列的阵元来提高分辨率，但是这样会增加系统的复杂度和算法对于空间的存储要求。
3.2 Capon最小方差法
为了解决Bartlett方法的一些局限性，Capon提出了最小方差法。该方法使部分(不是全部)自由度在期望观测方向形成一个波束，同时利用剩余的自由度在干扰信号方向形成零陷，可以使得输出功率最小，达到使非期望干扰的贡献最小的目的，同时增益在观测方向保持为常数，通常为1，如式 所示：
Hy?k???minWRXW?mwinE?????w?约束条件为：WHa??0?=1 （16） ?2其中RX?E?XgXH?是接收信号X的协方差矩阵。
求解式（16）得到的权向量通常称为最小方差无畸变响应(MVDR，Mhmnum Variance Distortionless Response)波束形成器权值，因为对于某个观测方向，它使输出信号的方差(平均功率)最小，又能使来自观测方向的信号无畸变地通过(增益为1，相移为0)。这是个约束优化问题，可以利用拉格朗日乘子法求解。
HW和?求偏导数可得： ? 令L?WHRXW????Wa??0??1?，L分别对
WHa??0?=1RXW??a??0? （17）
式（17）两端分别左乘W得：
WRXW??Wa??0???
HHH上式两端分别右乘aH??0?得：
??0????aH?a因此，
WHWRX?Wa??0??HHH?WRX
H1 ??0?R?X （18）
对（18）式两端分别右乘a??0?有：
H?1H?a??0?RXa??0??Wa??0??1
H所以，
??1aH??0?RXa??0??1 （19）
将式（19）带入（18）中，并对两边取共轭对称，最终得到：
W?RXa??0??1aH??0?R?1Xa??0? （20）
利用Capon波束形成法得到的空间功率谱公式如下： 1PCapon????H （21） ?1a???RXa??? 计算Capon谱并在全部?范围上搜索其峰值，就可估计出DOA。
虽然与古典谱估计法相比，Capon法能提供更佳的分辨率，但Capon法也有很多缺点。如果存在与感兴趣信号相关的其他信号，Capon法就不能再起作用，因为它在减小处理器输出功率时无意中利用了这种相关性，而没有为其形成零陷。换句话说，在使输出功率达到最小的过程中，相关分量可能会恶性合并。另外，Capon法需要对矩阵求逆运算，这样会使得计算量非常大。 3.3 MUSIC算法
Music算法是由R．O．Schmidt于1979年提出来，1986年重新发表的。它是最早的也是最经
典的超分辨DOA估计方法，它利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA。它是建立在以下假设基础上的：
(1)阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一；
(2)处理器的噪声为加性高斯分布，不同阵元间距噪声均为平稳随机过程，且相互独立，空间平稳(各阵元噪声方差相等)；
(3)空间信号为零均值平稳随机过程，它与阵元噪声相互独立，且信号间相互独立； (4)信号源少于阵元数，信号取样数大于阵元数。
在此假设基础上，Music算法对DOA的估计从理论上可以有任意高的分辨率。 Music算法原理如下：
由式（4）可得接收信号的协方差矩阵为：
H RX?E?XtX???t????HHHH?A?SH??E?N?HA?N ?AE? N ? SS?EANS?E???????? （22）
由于假设信号与噪声是不相关的，且噪声为平稳的加性高斯白噪声，因此式（22）中H2?的二，三项为零，且有E?： ?NN???NI。则式（22）简化为式（23）
RX?ARsAH??NI （23）
2 式（23）中的Rs是有用信号的协方差矩阵。
由于假设信号源之间互不相关，因此Rs为满秩矩阵，其秩为D。而A为M?D维的矩阵，其秩也是D，并且ARsA是Hermite半正定矩阵，其秩也是D。因此，令ARsA的特征值为?0??1?L??D?1?0，那么RX的M个特征值为：
HH?k???k??N?N22
k?0,L1,D?,1k?D,D?1L,M,? 1它们对应的特征向量分别为q0,q1,L,qD?1,qD,L,qM?1，其中前D个对应大特征值，后M?D个对应小特征值。
由此可以看出，协方差矩阵RX经过特征值分解后可以产生D个较大的特征值和
M?D个较小的特征值，并且这M?D个小特征值非常接近。所以当这些小特征值的重数K确定了，那么信号的个数就可以由式（24）估计出来：
??M?K （24） D对于与M?D个最小特征值对应的特征向量，有：
?RX??iI?qi即：
?0，i?D,D?1,L,M?1
H22??NI??NI?qi
?RX??NI?qi??ARsA2 ?ARsAHqi?0，i?D,D?1,L,M?1 因为A满秩，Rs非奇异，因此：
Aqi?0
H或
?aH??0?qi?H?a??1?qi?M?H?a??qiD?1????0???????0? ??M???????0?这表明与M?D个最小特征值对应的特征向量，和D个信号特征值对应的方向向量正交，即信号子空间和噪声子空间正交。因此，我们构造M??M?D?维的噪声子空间：
VN??qD,qD?1,L,qM?1?
并定义Music空间谱为：
PMusic????aH???a??? （25） H???VNVNa???aH或
PMusic????1aH???VNVHNa??? （26）
由于信号子空间和噪声子空间正交，所以当?等于信号的入射角时，Music空间谱将产
生极大值。因此当对Music空间谱搜索时，其D个峰值将对应D个信号的入射方向，这就是Music算法。
现将Music算法的步骤归纳如下：
（1）收集信号样本X?n?，n?0,1,L,K?1，其中P为采样点数，估计协方差函数：
??RX1P?1H?XXPi?0
?进行特征值分解： （2）对RX?V??V RX?0,?1L, 式中??dia?g,M???1为特征值对角阵，且从大到小顺序排列
V??q0,q1,L,qM?1?是对应的特征向量。
?，并构造噪声子空间（3）利用最小特征值的重数K，按照式（24）估计信号数DVN??qD,qD?1,L,qM?1?。
?个峰值，得到DOA估计值。 （4）按照式（25）搜索Music空间谱，找出D尽管从理论上讲，Music算法可以达到任意精度分辨，但是也有其局限性。它在低信噪比的情况下不能分辨出较近的DOA，另外，当阵列流行存在误差时，对Music算法也有较大的影响。
3.4 Music算法的改进
人们对于Music算法提出了各种改进，以提高分辨率，减小计算的复杂度。其中一种改进方法是Barabell提出的求根-MUSIC算法[8]。这种方法根据多项式求根，可以提供更高的
分辨能力，但是只适用于均匀线阵。Barabell提出的另一种方案是利用信号空间特征向量（主特征向量）的性质，定义了具有更加分辨率的有理谱函数。Schell在1989年也提出了利用信号的谱相干特性改善常规MUSIC算法性能的循环MUSIC算法[11]。下面分别介绍。 1. 求根-MUSIC算法
对于阵元间距为d的均匀线阵，方向向量a???的第n个元素可以表示为：
???d?an????exp?j2?n??cos?? n?1,L????? N, （27）
式（26）给出的MUSIC谱是一个全极点函数，即： 11PMusic????H?HHa???VnVna???a???Ca??式中，C?VnVnH。利用式（27），式（28）的分母可以写作：
NN? （28）
P?1Music??????exp??jm?1n?1??2?md???2?nd?cos??Cmnexp?jcos?? （29）
????式中，Cmn是C中第m行、第n列上的元素。将两个累加合并在一起，式（29）可以简化为：
P?1Music?????2?d?? Clexp??jlcos?? （30）
???l??N?1N?1式中，Cl??m?n?lCmn是C中第l条对角线上的元素之和。
定义如下多项式，即：
N?1D?z???l??N?1Clz?1 （31）
则评价MUSIC谱??PMusic?????等价于评价单位圆上的多项式D?z?，因为D?z?的根靠近单位圆，则MUSIC谱的峰值存在。在没有噪声的理想情况下，极点恰好落在单位圆上，位置由波达方向确定。换句话说，D?z?在z?z1?z1exp??jarg?z1???处的一个极点，即在
MUSIC谱产生峰值的位置上，故有：
??? cos????arg?z1? （32）
?2?d?求根-MUSIC算法比MUSIC谱形式的算法具有更好的分辨率，而且在低信噪比SNR的情况下也能够很好的工作。该算法避免了传统MUSIC算法的谱峰搜索过程，大大节省了计算量，但是该算法只适用于等距线阵。 2. 循环MUSIC算法
循环MUSIC算法是一种利用接收信号的谱相干性和空间相干性的信号选择性的定向算法。将谱相关性和MUSIC结合起来，在相距很近的信号中只有一个感兴趣信号（Signal of Interest，SOI）且信号间隔小于阵列阙值时，能够分辨出该期望信号。循环MUSIC算法还不受入射到阵列上的信号数（包括SOI和干扰）必须小于阵元数这一要求的约束。
考察一个N元阵列，接收的K?个信号在?频率上具有谱相关性，而干扰信号（数目任意）在该频率上不具有谱相关性。一个例子是，在严重的同信道干扰环境中检测一个具有特定谱相关和多径分量数的期望信号。令si?t?，i?0,L,K??1为期望信号，n?t?为入射到阵列上的噪声和干扰分量。于是接收信号向量u?t?可以写作：
u?t??K??1 ?a???s?t??n?t??As?t??n?t? （33）
iii?0