发布时间 : 星期一 文章2020-2021备战中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题附答案更新完毕开始阅读
MC=MA?cos∠AMC=MA?cos36.5°=4， 过点M作MD⊥NE于点D， 在Rt△MND中，MD=AE-AC=5， ND=NE-MC=2， ∴MN=52?22=29，
即M，N两村庄之间的距离为29千米．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长． DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得 MN′=52?102=55（千米）
∴村庄M、N到P站的最短距离和是55千米． 【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．
【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
613 65（1）根据?ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；
（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC， ∴BC＝CE，AC⊥CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥CE，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F， ∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4， ∴在Rt△BDE中，
BD?BE?DE?6?4?213∵S△BDE＝
222211×DE?AD＝AF?BD， 22∴AF＝4?3613， ?13213∵Rt△ABC中，AB＝32?42＝5， ∴Rt△ABF中，
AF613613??sin∠ABF＝sin∠ABD＝AB1365．
5方法二、如图2所示，过点O作OF⊥AB于点F， 同理可得，OB＝∵S△AOB＝∴OF＝
1BD?13， 211OF?AB?OA?BC， 222?36?， 55∵在Rt△BOF中，
sin∠FBO＝
0F6613， ??OB51365613． 65∴sin∠ABD＝
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合） （1）如果∠A＝30°，
①如图1，∠DCB等于多少度；
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE?tanα．理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；
②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，
（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可． 【详解】
（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝60°，
∵AD＝DB， ∴CD＝AD＝DB， ∴△CDB是等边三角形， ∴∠DCB＝60°．
②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°， ∴△CDB为等边三角形. ∴∠CDB＝60°
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF， ∵∠PDF＝60°，DP＝DF， ∴∠FDB＝∠CDP， 在△DCP和△DBF中
?DC?DB???CDP??BDF， ?DP?DF?∴△DCP≌△DBF， ∴CP＝BF.
（2）结论：BF﹣BP＝2DEtanα．
理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α， ∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，
∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α， ∵∠PDF＝2α，
∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF， ∴DP＝DF， 在△DCP和△DBF中
?DC?DB???CDP??BDF， ?DP?DF?∴△DCP≌△DBF， ∴CP＝BF，