发布时间 : 星期一 文章2020-2021备战中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题附答案更新完毕开始阅读
（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝
15AB?， 22??BP?， ∵AP∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝2BC，
∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝
BC， ACCEBE1??， AECE2∴AE＝4BE，
∵AE+BE＝AB＝5，
∴
∴AE＝4，BE＝1，CE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5， ∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，
OGOP?， GEEDOE?GEOP2.5??∴， GECE225∴GE＝，OG＝，
36522∴PG＝OP?OG?，
6∴△OPG∽△EDG，∴GD＝DE?GE?∴PD＝PG+GD＝222， 3310． 2
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．
11．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．
（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．
【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE?23. 【解析】 【分析】
（1）①补全图形即可，
②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝32，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝26，得出DF＝2DG＝43，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝23，即可得出结果． 【详解】
解：（1）①补全图形如图1所示， ②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下， 连接BG，如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝90°，
∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC， ∴∠GEC＝∠GCE＝45°， ∴∠BEG＝∠GCF＝135°， 由平移的性质得：BE＝CF，
?BE?CF?在△BEG和△GCF中，??BEG??GCF，
?EG?CG?∴△BEG≌△GCF（SAS）， ∴BG＝GF，
∵G在正方形ABCD对角线上， ∴BG＝DG， ∴FG＝DG，
∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°， ∴∠CGF+∠AGB＝90°， ∴∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴FG⊥DG.
（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示, 在Rt△ADG中， ∵∠DAC＝45°， ∴DH＝AH＝32，
在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°， ∴GH＝DH3＝323＝6，
∴DG＝2GH＝26， ∴DF＝2DG＝43， 在Rt△DCF中，CF＝∴BE＝CF＝23．
?43?2?62＝23，
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5?方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5?方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出
P的位置（不写作法）并计算：
（1）M，N两村庄之间的距离；
（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）
【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米． 【解析】 【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长． 【详解】
解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．
（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5° ∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6， AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8， 过M作MC⊥AB于点C，
在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5° ∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3，